D UiM SOLIDO INVARIAVEL NO ESPAQO 



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42.— Os eixos de todos os hyperboloides de revolucao, que concordam 

 com uma geratriz, AD por exemplo, exislem n'um paraboloide hyperbolico, 

 cujos elementos se determinam considerando as modificacoes, que soff're o pa- 

 raboloide relativo a duas rectas quassquer AD e BE, quando AB e o angulo 

 DAR tendem para zero. N'estas circumstancias o vertice V do paraboloide e 

 o ponto A tendem a confundir-se no limite com o ponto central da geratriz 

 AD, e o eixo AB do paraboloide aproxima-so indefinidamnfe da tangente a 

 linha de estriccao. A bissectriz VX tende para a geratriz AD e o piano dire- 

 ctor A H para o piano central da mesma geratriz. A bissectriz VZ tende a 

 tornar-se normal a superficie empenarla no ponto central da geratriz AD e o 

 piano director A T sera no limite perpendicular a A D. 



Logo os eixos de todos os hyperboloides de revolucao, que concordam com 

 uma superficie empenada ao longo de uma geratriz rectilinea, existent nam 

 paraboloide hyperbolico isosceles. vertice d'este paraboloide existe no ponto cen- 

 tral da geratriz, o eixo 6 tangente d linha de estriccao, um dos pianos directo- 

 rs 6 o piano central da geratriz e o outro piano director 6 perpendicular a 

 esta recta. 



43. — Passemos agora a estudar as modificacoes, que soffrem os hyper- 

 boloides, que teem o centro na bissectriz VX correspondente ao angulo infi- 

 nitamente pequeno DAR. 



Este angulo e as rectas AB, GK e GF sao evidentemente quantidades 

 infinitamente pequenas de primeira ordem, em quanto Gg e infinitamente pe- 

 quena de segunda ordem. As rectas KFe K 1 F, que tambem sao infinitamente 

 pequenas de primeira ordem, tendem por tanto a confundir-se com a corda 

 KK', ou antes, visto que esta corda e infinitamente pequena, com a tangente, 

 que se obtem prolongando indefinidamente o elemento KK 1 . A bissectriz VX 

 tende a confundir-se com a geratriz AD e por tanto o piano pqq'p' do cir- 

 culo da gola, que no limite contem AD e KK', converte-se no piano tangente 

 a superficie empenada no ponto commum as rectas AD e KK 1 nas suas posi- 

 coes limites. eixo Fe do hyperboloide, que estamos considerando, conver- 

 te-se, pois, em normal a superficie. 



angulo formado pela geratriz AD com o piano p qq'p 1 do circulo da 

 gola e infinitamente pequeno de primeira ordem, e, como (Testa ordem e tam- 

 bem o raio KF do mesmo circulo, segue-se que o hyperboloide de revoluc3o, 

 cujo eixo e Ft, se reduz no limite ao piano AH do seu circulo da gola. 



Em conclusao: quando uma recta, movendo-se, gera uma superficie empe- 

 nada aproximando-se indefinidamente de outra geratriz da mesma superficie, 

 os hyperboloides de revolucdo em numero infinito, que passam pelas duas gera- 

 trizes, vdo-se modificando de sorte que aquelles, cujos centros estdo em geral na 

 bissectriz VX do angulo infinitamente pequeno formado pelas geratrizes, per- 



