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ESTUDO SOBRE DESLOCAMENTO 



dem successivamente a sua curvatura e tendem a confundir-se com os pianos 

 tangentes a superficie nos diversos pontos da geratriz. 



44.— Examinemos agora as modificacoes por que passam os outros hy- 

 perboloirles de concordancia, isto e, os que teem o centro na bissectriz VI 

 do supplemento do angulo infinitamente pequeno formado pelas duas geratri- 

 zes successivas da superficie. 



Para aproveitarmos a fig. 1 suppomos, que o angulo infinitamente pe- 

 queno das geratrizes e o supplemento de BAR. D'esta supposicao resulta, 

 que o angulo DAG difl'ere infinitamente pouco de um angulo recto, e que a 

 bissectriz VX se torna no limite normal a superficie empenada no ponto cen- 

 tral A da geratriz A D. Os pianos dos circulos da gola de todos estes hyper- 

 boloides serao entao normaes a superficie no mesmo ponto A e os centros 

 d'aquelles circulos estarao na normal a este ponto. 



A recta G K tende a confundir-se com AG e com esta recta tendera egual- 

 mente a confundir-se o raio FK do circulo da gola, visto que A G e finito e GF 

 infinitamente pequeno. E, como AK se aproxima indefinidamente de zero, o 

 ponto K da circumferencia da gola confundir-se-ha no limite com o ponto cen- 

 tral A da geratriz A D. 



N'estes hyperboloides o angulo formado por qualquer das suas geratrizes 

 rectilineas com o piano do circulo da gola e finito e egual ao que este piano 

 faz com o piano tangente a superficie no ponto situado a distancia infinita so- 

 bre a geratriz de concordancia. 



Nao deixam, pois, de existir os hyperboloides de concordancia, que teem 

 os centros snbre a normal a superficie no ponto central da geratriz; somente 

 a sua curvatura vae diminuindo a medida que o centro se afasta do ponto 

 central, de sorte que, quando a distancia d'estes pontos se torna infinita, o 

 hyperboloide se reduz ao piano central da geratriz. 



Conclue-se, por tanto, que os eixos de todos os hyperboloides de revolugdo, 

 que concordant com uma geratriz rectilinea de ama superficie empenada, con- 

 junctamente com as normaes a, esta superficie ao longo da mesma geratriz exis- 

 tent rium parabohide hypprbnlico isosceles. Este paraboloide, cujo vertice, eixo 

 e pianos directores foram ja determinados (§ 42) chama-se paraboloide das 

 normaes. 



43. — No limite, quando pea tendem para zero, de sorte que seja 



lim-— — k 



a 



sendo k uma quantidade finita, os tres paraboloides (7), (9) e 13), que passam 

 por VX, e de que anteriormente tratamos (|| 6 e 8), confundem-se em um s6, 

 porque as rectas FK e FK 1 tendem sem cessar a confundir-se com KK 1 . 



