d'um solido invariavel no espaqo 35 



Effectivamente as equates dos tres paraboloides reduzem-se no limite a 



equacao umca 



xy+kz=>0 



(23) 



Esta equagao representa evidentemente o paraboloide de concordancia com 

 uma superflcie empenada ao longo de uma geratriz, cojo parametro e k, e no 

 qual as geratrizes de urn dos systemas sao perpendiculares a geratriz de con- 

 cordancia. A origem das coordenadas esta no ponto central d'esta geratriz, os 

 eixos dos xx, yy e zz sao tornados sobre esta geratriz, a tangente a linha de 

 estricgao e a normal no ponto central. 



Os pianos directores do paraboloide sao os pianos coordenados ZX e Z Y. 

 sentido dos eixos positivos deve ser tal que, quando o eixo positivo dos yy 

 gira no piano YZ, de sorte que no Mm de una quarto de revolucao esteja so- 

 bre o eixo positivo dos zz, o piano determinado pelo eixo movel e pela gera- 

 triz de concordancia toque a superflcie n'um ponto que se desloque sobre a 

 mesraa geratriz no sentido positivo dos xx. 



Dando a este paraboloide de concordancia (23) um quarto de rotacjo em 

 torno da geratriz de contacto obtem-se o paraboloide das normaes, cuja equa- 

 cao pode deduzir-se d'aquella mudando +y em +z e +z em — y, ou -\-y em 

 — z e +2 em -\-y. Esta mesma equacao 



x 



',-ky=0 



(24) 



se achara fazendo na equacao (12) 



-lim- 



A equacao (24) representa por tanto o paraboloide das normaes ao longo 

 de qualquer geratriz de uma superflcie empenada referido a tres eixos ortho- 

 gonaes tendo por origem o ponto central da mesma geratriz, tomando esta 

 para eixo dos xx, a normal no ponto central para eixo dos yy e a tangente a 

 linha de estriccao para eixo dos zz. As partes positivas d'estes eixos devem ser 

 escolhidas do modo que, quando o eixo positivo dos zz descreve o piano zy em 

 sentido tal que no fim de um quarto de revolugao, se confunda com o eixo 

 dos yy, o piano determinado pelo eixo movel e a geratriz toque a superflcie 

 n'um ponto, que percorra a mesma geratriz no sentido em que se contam os 

 xx positivos. parametro da geratriz e k. 



Os tres paraboloides (10), (1!) e (14) que, em geral, passam por YZ, e 



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