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ESTUDO SOBRE DESLOCAMENTO 



de que tambera j;i tralamos, transformam-se nos tres pianos coordenados, 

 quando crep tendem para zero. 



46. Quando duas rectas concorrentes formam urn angulo variavel, que 

 decresce indeflnidamente, ellas tendem a confundir-se no sen limite com uma 

 recta unica, que pode considerar-se ou como geratriz de uma superficie pla- 

 nificavel, ou como geratriz singular de uma superficie empenada. N'este ultimo 

 caso o ponto de concurso das rectas e urn vertice da superficie empenada. 



E facil reconbecer, que os hyperboloides de revolucao que tinham o eixo 

 no piano 11, quando a era finite se reduzem agora a cylindros. Com effeito, 

 tendendo a angulo DVX(l\g. 6) para zero, tendem para zero as rectas gK&MK 

 e consequentemente as tres rectas FK, Fg e FM tenderao a confundir-se. Oon- 

 fundindo-se estas rectas, o piano G sera perpendicular a recta VX, da qual 

 se aproximarao indefinidamente VI) e VE, e o eixo Fe tornar-se-ha parallelo 

 a VX. As formulas do § 36 dao para cr=0 os valores 



?=y 



6=0 



a = 90° 



/C=G© 



que confirmam o que temos dito sobre a transformaeao dos hyperboloides em 

 cylindros de revolucao. 



Suppondo agora que o angulo DVZ tende para zero, e evidente que MK 

 e MV tenderao a confundir-se, e por consequencia que FK se aproximara in- 

 definidamente de FV. piano da gola do hyperboloide, que tern o centro em 

 F, contera entao a bissectriz VI, e o hyperboloide de revolucao reduzir-se-ha 

 ao piano do seu circulo da gola. As formulas dao, quando lim DVE=0, para 

 os hyperboloides com o centro no piano P 



?. 



H 



f/*+Z 



2 tff6. 



Vh= 



y^+z" 1 



Fe, 



y<l¥W 



.0 



ft,=0. 



Logo, quando o angulo DVE=a, formado por duas rectas concorrentes, 

 tende para zero, os hyperboloides de revolucao, que, em geral, teem o eixo no 

 piano H, transformam-se cm cylindros de revolucao em torno d'eixos paralle- 

 ls a VX, e os que tern o eixo no piano P transformam-se em pianos passando 



por VX, 



Podemos concluir: Ha uma infinidade de cones e de cylindros de revolu- 

 cao, que concordant, com uma superficie planificavel ao longo de qualquer das 

 suas geralrises reclilincas, ou com tuna superficie empenada ao longo de uma 

 geratriz, que contenha urn vertice. Os cones de revolucao teem o eixo no piano 

 normal d superficie ao longo da geratriz de concordancia e o vertice no ponto 

 em que csta geratriz lota a aresta de reversdo, quando a superficie 6 planifica- 



