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La définition adoptée par M. Stekloff ne coïncide ni avec 

 celle de M. Poincaré ni avec celle de M. Le Roy, mais, comme 

 M. Le Roy, M. Stekloff prouve qu'en particularisant convenablement 

 sa définition on retrouve les fonctions de M. Poincaré. 



Les méthodes de M. Le Roy et de M. Stekloff reposent sur 

 certaines transformations de la surface pour laquelle on veut éta- 

 blir l'existence des fonctions fondamentales. Or. les transformations 

 de ce genre, dont M. Poincaré, le premier, a donné un exemple, 

 ne sont applicables que dans des conditions assez particulières. 



Le but du présent travail est de démontrer l'existence des 

 fonctions fondamentales, sans employer aucune transformation, pour 

 toute surface (S) satisfaisant aux conditions suivantes: 



1. Cette surface admet en chaque point un plan tangent par- 

 faitement déterminé. 



2. Désignons par (S') la portion de la surface (S) située à 

 l'intérieur d'une sphère (S) dont le centre est un point quelconque 

 de la surface (S) et dont le rayon ne surpasse pas une longueur 

 fixe indépendante de la position de ce point. Toute parallèle à la 

 normale en à la surface (S) rencontre la portion (S') de cette 

 surface en un point au plus; en outre l'angle formé par les nor- 

 males élevées en deux points quelconques A et B situés sur la 

 portion (S') de la surface (S) est inférieur au produit de la lon- 

 geur AB par une constante indépendante de la position du point 

 sur la surface (S). 



J'adopte la définition de M. Stekloff des fonctions fondamen- 

 tales en la modifiant toutefois de façon que la notion de ces fonc- 

 tions, au lieu d'être restreinte à l'équation de Laplace, soit étendue 

 à l'équation plus générale 



ou 



Aï; : 



Av 4- ZP = o, 



9 2 V d-V d-V 



3x' + 9p + 3s 2 ' 



la lettre c désignant un paramètre réel quelconque. 



Je me réserve d'étudier dans an autre travail les relations 

 des définitions de M. Poincaré et de M. Le Roy avec celle de M. 

 Stekloff et de donner ensuite quelques applications des fonctions 

 fondamentales. 



