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II. Démonstration d'un Ieinine fondamental. 



Nr. 2. Désignons par f x (x, y, z), ,/ 2 (x, y, z), . . . f p (x, y, z), p 

 fonctions réelles, linéairement indépendantes, admettant des déri- 

 vées premières continues en chaque point intérieur à un domaine (D) 

 limité par une surface fermée (S) satisfaisant aux conditions énon- 

 cées dans l'introduction, par 34, x 2 . . . a,, p facteurs réels indépen- 

 dants des variables x, y, z, par cil un élément de volume, par ds 

 un élément de la surface (8), par ; une constante donnée, réelle 

 mais d'ailleurs quelconque, et soit enfin 



f(x,y,z) = ^y. l f i (x ) y,z). 



(1) 



Je me propose de démontrer la proposition suivante: si le 

 nombre p est supérieur à un certain entier positif, dépendant uni- 

 quement de la nature de la surface (8) et du nombre ç. il sera 

 toujours possible de disposer des facteurs a ( . y.„. ...a,, de façon à 

 vérifier l'inégalité: 



5{(£) , +(£)'+(g)-v}*>vW 



(2) 



où L p représente un nombre positif croissant indéfiniment lorsque 

 le nombre -p croît indéfiniment et où les indices (D) et (S) indiquent 

 que les intégrations correspondantes doivent être étendues respec- 

 tivement à tout le domaine (D) et à toute la surface (S). 



Dans le cas particulier où l'on a ; = 0, c'est M. Le Roy l ) le 

 premier qui a démontré le théorème précédent. Après lui, et toujours 

 dans le même cas particulier, M. Stekloff 2 ) a étudié le même 

 théorème. 



Mais ni M. Le Roy ni M. Stekloff n'ont réussi à se débar- 

 rasser de l'hypothèse qu'une transformation, du genre de celles dont 

 il a été question dans l'introduction soit applicable à la surface (S). 



Je rappelle tout d'abord un résultat que j'ai établi dans un 

 autre travail 8 ). Désignons par m un paramètre réel vérifiant l'in- 

 égalité: 



vi ^ w (l (3) 



') Mémoire cité. 

 2 ) Notes citées. 



■') Zaremba. Sur l'équation \te 4- ai 4 / = o et sur les fonctions harmo- 

 niques. Annales scientifiques de l'Ecole normale supérieure, 1899. 



