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Je dis que le nombre de fonctions fondamentales linéairement 

 indépendantes ayant des nombres caractéristiques positifs est fini 

 En effet posons: 



(12) 



./' 



X, V; 



où les y. s sont des facteurs réels indépendants de x, y, z. Nous trou- 

 verons, en nous appuyant sur les équations (7). (9) et (11) ainsi 

 que sur le théorème de Grreen: 



•?/y, rvy (V* 



9y ) " \3z 



(13) 



SKI)' 



IP dX 



■S X,a, 8 



Par conséquent si \ sont tous positifs, on aura 



JH^) + V9y) 



( 9j y 



\3zJ 



■ IP dx< 



(») 



quelles que soient les valeurs réelles attribuées aux facteurs oc,. Or, 

 le théorème de M. Poincaré, théorème sur lequel nous avons eu à 

 nous appuyer au chapitre IL nous apprend que cela ne sera pos- 

 sible qu'à la condition que nombre p ne dépasse pas une certaine 

 limite, facile à exprimer en fonction de c- J'ajoute que dans le cas 

 où ç ^ 0, il ne peut pas y avoir de fonctions fondamentales ayant 

 des nombres caractéristiques positifs. C'est là une conséquence im- 

 médiate de l'équation (13). 



Conservons les notations précédentes et assurons-nous, qu'à 

 partir d'une certaine valeur assez grande du nombre p. l'on aura: 



(14) — \>M'\jp 



où M' est un nombre positif indépendant de p. On déduit de l'équa- 

 tion (12), en tenant compte des équations (9) et (11): 



fS) ' ' I - , 



d'où, à cause des inégalités (4): 



(S) t = / 



Cette inégalité et l'équation (13) nous donnent: 



SKiMfy+dy-H- 



EW 



?2 S/ 1 ds 



(S) 



