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et voyons si l'on peut développer la fonction u en une série pro- 

 cédant suivant les puissances entières et positives de r r 

 Posons donc 



Zj U, r. 



(21) 



les équations (15) et (16) nous donneront: 



dN 



du k 



dN 



(le = 0,1, 2,...) 



h mn n ■+- <p d/ 



:Â <p% + fU k -, (k = l,2,...) 



(22) 



Supposons provisoirement que les fonctions u k existent et que la série 

 (21) soit uniformément convergente dans tout le domaine (D) pour 

 toutes les valeurs de r t vérifiant l'inégalité 



On prouvera aisément que dans ce cas, la somme u de cette série 

 vérifiera les équations (15) et (16). J'ajoute, en vue d'une application 

 ultérieure, que la convergence uniforme de la série (21) sur la sur- 

 face (S) en assure la convergence dans toute l'étendue du domaine (D). 

 Cela posé, il résulte de la proposition établie à la fin du nu- 

 méro précédent qu'en donnant à h une valeur réelle et positive 

 convenablement choisie, il sera possible de calculer toutes les fonc- 

 tions u k et que l'on aura, à cause de l'inégalité (18) 



t t <AS t .„ 



en désignant par S, le maximum du module de la fonction u t . Par 

 conséquent la série (21) aura un rayon de convergence au moins 

 égal à ' Il est donc établi que la fonction u du paramètre com- 

 plexe h, définie par les équations (15) et (16) existe et est holo- 

 morphe à l'intérieur d'un certain cercle tracé dans le plan de la 

 variable complexe h. 



La méthode de prolongement analytique nous permettra de 

 prouver l'existence de la fonction u pour toutes les valeurs com- 

 plexes du paramètre h. Mais pour cela il est indispensable d'établir 

 certains préliminaires. 



