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Nr. 10. Désignons par r la distance du point (x, y, z) situé 

 à l'intérieur du domaine (D) à l'élément ds de la surface (S) et 

 supposons que la fonction définie par les équations (15) et (16) 

 existe. Nous aurons: 



u (x, y, z) : 



1 f d eV-% 1 f 

 l,) U dNr dS ~4.) 



du e |lr 



m-r** 



où l'on a posé <j. = \ — i. On déduira de cette formule par des 

 calculs analogues à ceux que M. Poincaré a employés dans une 

 autre occasion l ). la conséquence suivante: Désignons par à et ù' les 



maximas des modules de la fonction u et de la quantité ,.- T . par 



dis ' 



A', B' et C" trois constantes positives ne dépendant que de la sur- 

 face (S) et du parrmètre \ et par p un nombre positif tout-à-fait 

 arbitraire d'ailleurs; posons en outre: 



J 



u i 2 ds 



./' 



C i du 2 , 

 )\dN ds 



nous aurons quel que soit p : 

 (23) *<A'?$ + r 



B'{\lJ +- \j~j)lg 



C" 



Reportons-nous aux équations (4) et (16). désignons par iï une 

 limite supérieure du module de <h et posons | h ! =H. Nous trouverons: 



}>' <5®J 



'h û 



et nous déduirons de l'inégalité (23). au moyen de l'inégalité pré- 

 cédente, que 



(24) § < 4'f (1 + ff ?2 ) S 4 . i' ?? , 12 + 5' j V-7 -t V'./' } 19 °'- 



Nr. 11. Considérons maintenant de nouveau les équations (22) 

 et donnons à h une valeur complexe pour laquelle les fonctions 

 u,,. puissent être toutes calculées. D'après ce qui a été établi au 

 Nr. 9, il est certain que de telles valeurs de /?„ existeront. 



') Poincaré. Sur la méthode de Neumann et le problème de Dirichlet. Chap. 

 V, p. 105, Acta Mathematica 1806. 



