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(34) 



P ^ V\ 



Mais je dis que 



(35) P = /"■ 



Pour le prouver il n'y a qu'à démontrer l'inégalité 



(36) P^VK 



On peut y arriver comme il suit: désignons par S. le maxi- 

 mum de la fonction u, sur la surface (S) et appliquons à la 

 fonction u k le théorème exprimé par l'inégalité (24). Nous trou- 

 verons, en nous appuyant sur une des inégalités (4) et en attribuant 

 à l'indéterminée p une valeur assez petite, que l'on peut déterminer 

 deux constantes positives A et B, indépendantes de l'indice h, telles 

 que l'on ait: 



où l représente, comme plus haut, le nombre positif dont le carré 

 est égal à la limite de la, suite (32). L'inégalité précédente nous 

 apprend que le rayon de convergence de la série 



(37) 



v <W 



est au moins égal à celui de la série 



(38) SvfVÏT* 



Or. en se reportant à la remarque faite au Nr. 9, on verra 

 que le rayon de convergence de la série (37) est égal au rayon de 

 convergence de la série (21). D'autre part, le rayon de convergence 

 de la série (38) est égal à l. Par conséquent l'inégalité (36) sera 

 satisfaite. Donc, en vertu des remarques faites plus haut, l'égalité 

 (35) aura lieu. C'est ce qu'il s'agissait d'établir. 



La méthode de prolongement analytique nous permet de dé- 

 duire du théorème qui vient d'être démontré et de l'inégalité (33), 

 en tenant compte en outre des remarques faites au Nr. 9, la pro- 

 position suivante: la fonction u définie par les équations (15) et 

 (16) existe dans tout le plan de la variable complexe h et elle ne 

 peut avoir des points singuliers que sur l'axe des quantités réelles. 

 J'ajoute qu'il est aisé de prouver que cette fonction est uniforme. 



Nr. 12. Passons à l'étude des points singuliers de la fonction u. 

 Cette étude pourrait se faire par la méthode de M. Poincaré mais, 



