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Les équations (40) et (21) nous donneront: 



(55) (t) + id) u = rpi' -h id u . 



Or le rayon de la eonvergence de la série (54) est égal à B 

 et B vérifie l'inégalité (53). L'équation (55) exprime par conséquent 

 que, pour i] = — i d , la fonction u a un pôle simple et que le ré- 

 sidu correspondant v nous est donné par la formule, 



(56) 

 D'ailleurs 



_ y 



h :_- 



(-idoY 



i d u . 



du 



dN 



Au -f \u —0, 



(ho + •/;) m + (ty + i d t'a) <pj , 



àuo + h/ = . 

 du 



^r=«'0?»0 + î4, 



ce qui donne 



A (tjw -t irf m ) + ; Çtj» + id Uo) = ; 



d (riu + V flî M ) . 



e£A~ ' = l ° + ^ ? (T; " 4 ' ° "°' 4 ^ ^ + * o- 1 ' 



d'où, en posant rj = — i t/ , 



La fonction v est donc une fonction fondamentale à moins 

 qu'elle ne soit identiquement nulle. Il est très aisé de voir qu'elle 

 ne l'est pas. En effet, il résulte des équations (56) et (40) que 



v = — lim ( (— i do)" 8 m,, m } * = „ > 



or cette limite ne peut être identiquement nulle parce que. dans ce 

 cas, la suite (50) aurait zéro pour limite et nous avons vu qu'il 

 n'en est pas ainsi. 



L'ensemble des résultats établis dans ce travail nous amène 

 aux conclusions suivantes: 



1) Etant donnée une surface (S) vérifiant les hypothèses 

 énoncées dans l'introduction et une fonction continue œ dé^finie sur 

 cette surface, constamment positive et différente de zéro, il cor- 

 respondra à tout nombre réel \ une suite infinie 



