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l'existence des fonctions fondamentales de M. Poincaré se ramènent 

 au théorème suivant: 



Désignons par a 1} u 2 ... a pJ p simples couches réelles données, 

 linéairement indépendantes, répandues sur la surface (S) et par 

 a l5 a 2 . . . %., p facteurs réels indéterminés. Posons ensuite: 



(4) <t = i y. k <s s 



kzzl 



et envisageons le rapport 



(5) 



r 

 i 



des intégrales définies par les équations (2) et (3). 



Il sera possible de disposer des indéterminées y,, de façon à 

 vérifier l'inégalité: 



r_ 



I 



(6) 



< s„ 



où s p est un nombre positif ne dépandant que de la surface (S) et 

 de l'entier p, tendant vers zéro lorsque p croît indéfiniment. 



Le but de cette note est de démontrer ce théorème en faisant 

 au sujet de la surface (S) les hypothèses suivantes: 



1) Cette surface peut se composer d'un nombre quelconque 

 de nappes entièrement séparées mais elle admet en chaque point 

 un plan tangent déterminé. 



2) Décrivons une sphère (S) de rayon p en prenant pour 

 centre un point quelconque situé sur la surface (S) et appelons 

 (S') la portion de la surface (S) situé à l'intérieur de la sphère (H) 

 Aucune parallèle à la normale e i à la surface (S) ne pourra 

 rencontrer la portion (S') de cette surface en plus d'un seul point 

 pourvu que 



P ^ Pi 



où o 1 représente une longueur fixe indépendante de la position du 

 point sur (S). 



3) L'angle aigu formé par les normales élevées en deux points 

 quelconques pris sur (8) est toujours inférieur au produit d'une 

 constante A par la distance de ces points. 



Nr. 2. Conservons les notations du numéro précédent et envi- 

 sageons l'intégrale: 



