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d'où 



(30) 



Assujettissons maintenant 

 (31) |* ^ 



l'inégalité (30) nous donnera: 



A 



w 



-1 





V- 



w 



1 



4 A 2 



lu. à vérifier l'inégalité 



2\j2A, 



(32) 



W 

 W 



< 



16A 



Nr. 5. Un dernier lemme nous est nécessaire avant de pou- 

 voir aborder la démonstration du théorème faisant l'objet du présent 

 travail. Désignons par / (x, y, z) une fonction continue et bien 

 déterminée, définie dans tout le domaine (D) intérieur à la surface 

 {S) ou dans tout le domaine (77) extérieur à cette surface, admettant 

 des dérivés premières continues en chaque point non situé sur la 

 surface (S) mais . bien entendu intérieur au domaine dans lequel 

 cette fonction est définie. Supposons enfin que. dans le cas où la 

 fonction / (x, y, z) serait définie dans le domaine (D'). elle se ré- 

 duise à zéro à l'infini. Considérons ensuite une fonction w s'annu- 

 lant sur la surface (S), vérifiant dans tout le domaine où la fonction 

 / (x, y, z) est définie l'équation 



(33) A w — l.. 2 w + f (x, y, z) = 0, 



et assujettie en outre, dans le cas où elle vérifierait l'équation pré- 

 cédente à l'extérieur de la surface (S), à prendre la valeur zéro 

 à l'infini. 



Il est très aisé de voir que la fonction iv. si elle existe, est 

 définie sans ambiguïté par les conditions qui lui sont imposées. Je 

 me propose de prouver, en me restreignant pour plus de simplicité 

 au cas où l'inégalité (31) est vérifiée, que la fonction w existe et 

 que sa dérivée suivant la normale à la surface (S) est une fonction 

 finie et continue de la position de la normale. 



Il suffira d'envisager le cas où la fonction / (x, y, z) est dé- 

 finie dans le domaine (D) et où. par conséquent, la fonction iv doit 

 vérifier l'équation (33) à l'intérieur de la surface (S), le second cas 

 pouvant se traiter par une méthode tout à fait semblable. 



