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Voici ce que nous en concluons: puisqu'à l'intérieur de la 

 surface (S) la fonction F vérifie l'équation (35) tandis que la fonc- 

 tion tt* satisfait dans les mêmes conditions à l'équation (38) et 

 puisque ces deux fonctions sont continues même à la traversée de 

 la surface (S), la fonction demandée w nous sera donnée par la 

 formule 



w == F — 4> . 



Cela prouve que la fonction w existera et, comme cela résulte 

 immédiatement des formes des fonctions F et <t>, qu'elle admettra 

 une dérivée normale continue. C'est ce qu'il s'agissait de démontrer. 



Nr. 6. Nous voici préparés à la démonstration du théorème 

 énoncé au Nr. 1. 



Désignons par w la fonction qui s'annule sur la surface (S) 

 et à l'infini et qui vérifie à l'extérieur de la surface (S) l'équation 



(40) 



A w' — u. 2 w' + y- 2 u = 0, 



où a est un nombre positif vérifiant l'inégalité (31). 



Reportons-nous à la formule (1) et posons à l'extérieur de la 

 surface (S) 



(41) u = w' + v\. 



La fonction v\ s'annulera à l'infini, elle prendra sur la sur- 

 face (S) les mêmes valeurs que la fonction u et elle vérifiera à 

 l'extérieur de la surface l'équation 



(42) 



At/j 



u.*»', =0. 



D'après ce qui a été établi au numéro précédent la dérivée 

 de la fonction w' suivant la normale à la surface (8) sera finie et 

 continue. Or la fonction u jouit évidemment de la même propriété. 

 Il en sera donc de même, à cause de l'équation (41), de la fonc- 

 tion v\. 



Considérons maintenant le domaine (D) intérieur à la surface 

 (S) et soit w la fonction s'annulant sur (S) et vérifiant dans le 

 domaine (D) l'équation 



(43) 



(44) 



à w — t/. 2 w 

 Soit dans le domaine (D) 



u.Hi = 0. 



