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où l'intégrale se trouvant au premier membre est une intégrale de 

 volume étendue à tout le domaine (2)) limité par la surface (S). 



Soit comme plus haut f une fonction continue définie sur la 

 surface (S) et 1 un paramètre donné. Proposons nous de déterminer 

 un potentiel de simple couche v relatif à la surface (S) vérifiant 

 l'équation : 



(4 ) (êr)r(È)r*{(w\+(m\} 



+ 2f. 



On commencera par développer v suivant les puissances en- 

 tières et positives de "K ; puis en s'appuyant d'une part sur l'in- 

 égalité (3) et sur le théorème démontré dans le mémoire auquel 

 cette note se rapporte et d'autre part sur un résultat important 

 dû à M. Liapounoff !), on appliquera les méthodes si fécondes de 

 M. Poincaré 2 ). On arrivera ainsi au résultat suivant: la fonction ■#, 

 considérée comme fonction du paramètre X est une fonction méro- 

 morphe dont les pôles sont simples et réels. Ces pôles font tous 

 partie d'une suite infinie 



(5) 



vérifiant les conditions: 



\} ^2 ? \ } ■ 



\ = 1, \\\>\ 



C/.-S, 4, ) 



! K ! > I \-t ! 



et dépendant uniquement de la nature de la surface (S). 



On verra, en outre, que les résidus relatifs aux pôles de la 

 fonction v seront les fonctions fondamentales de M. Poincaré 3 ). 

 Cela posé on établira que le nombre \ = 1 ne sera pas un pôle 

 de la fonction v si l'on a 



Yfds — 0. 



') Liapounoff. Sur certaines questions qui se rattachent au problème de 

 Diriehlet. Journal de Mathématiques pures et appliquées 1898. 



2 ) Poincaré. Sur les équations de la Physique mathématique. Rendiconti 

 del Circolo matematico di Palermo 1894. 



s ) Poincaré. La méthode de Neumann et le problème de Diriehlet. Acta 

 mathématica 1896. 



