427 



Angenommen, dass die Argumente a. 15 y., ... «„; 



»1 rt) ^3 



der unedlichen Reihe F (a x , 



'«] f2; ^3 



, . . . p n ; a;) négative und 



ganze Zahlen sind. deren absolute Werte den Ungleichungen 



Kl <|p.J;< \\\ <Ip.,I-"K„J <IpvJ < KJ ( 15 ) 



gentlgen, so bekommt man mit Rticksicht auf die G-leichungen (13) 

 fole-ende Relation: 



f(sti,«, : •■■ k»; p2---»?; a! )o,«.=- F ( a ii y -2 —•<*»; p 2 ---p»; a:; )»,-a / . + 

 H-C^-p* *K+i- Pv o,+i-p v ...«„+i-p. / ; 2- Pv ...?„+*-?.,; a0 o ,_ (Vi - P>/) 

 + C 2 a!'-P, a i^Oi+i-p^, «,+i-t v .„*.+! p, 2 ; 2-p v ... P „+J-p., 2 ; 4,,_^ r +,_ Psj) 



(16) 



+ a-^-P.n-^l + i-?„ ,,*2 + *-P- 



•i— p. 



.î^Jc- 



-(s, +i - p «»-<) 



wo C, CL A. G, , beliebige Constanten. und y. . y.,. ... x r ; p, p, ... p, 

 eine Permutation der Zahlen y,, y.,. ... a„; p 2; ? 3 ... p„ bedeuten. 



Sind also die Argumente a und p ganze und négative Zahlen; 

 welche die Bedingungen (15) erfttllen, so erhalt man aus einer 

 unendlichen Reihe F (?. 1; a,. ... a„; ;, ... p„; a) w verschiedene Reihen, 

 welche ganze und rationale Functionen sind. und welche sich nicht 

 linear durch einander darstellen lassen. Dièse Reihen bleiben auch 

 dann von einander unabhangig, wenn dièse Argumente allgemein sind 

 und. keine der Differenzen ^ r —^ : fur r-|=s eine ganze Zahl ist. 

 Dièse n Reihen konnen also als ein Fundamentalsystem einer li- 

 nearen Differentialgleichung u i ' r Ordnung betrachtet werden. 



Aile Reihen der Gleichung (16) redits lassen sich in folgen- 

 der Form darstellen: 



f~ Pr F (Oj +1- p r . k 2 +1- ?,, • . . 



,4 I v+i-p. 



-„ + i - 



Pr;2-p„ 



= i, 2. 



. p„ + 1 - p/, »>= 

 n, h =l (17) 



p„; a;) als Summe 



von — oo bis -)- oo. und nimmt a x ganzzahlig und positiv an. so 

 bekommt man mit Rticksicht auf die Gleiclumgen (14): 



Betrachtet man die Reihe F (a. t 



i^(a 1; a,, ... sc„; p 2 ... p, 

 + Cx-« 1 F(x 1 ,x i +l 



„, + „ = J F , (a 1 , a 2 , ...«„; oj -....p,.; *)„;«, + (18) 

 ..Oi+i — p n ; y-i +i-«s, ». a t +i — y.„; ar\„ 



wo C eine beliebige Constante bedeutet. 



