D CM SOLIDO INVARIAVEL NO ESPAQO 



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angulos formados por ellas e F? uma recta, que intercepta orthogonalraente VX 

 e que necessariamente ha de formar angulos eguaes com as rcctas dadas. 



piano parallelo a VD conduzido por Fy tern por traces ht e Ft sobre 

 os pianos DqE, perpendicular a VX, e Vqr, perpendicular a VZ. A projecQao 

 do ponto D no piano htF e o ponto M, cujas projeccSes nos pianos DqE e 

 Vqr sao m' e m. Conduzindo por, if uma parallela a VD obtem-se o ponto Q, 

 por onde passa a menor distancia de F<f a VD. A projeccao de Q, sobre o piano 

 DqE e o ponto commum a recta Am, projeccao de F® em DqE, e a recta m'a 

 parallela a VZ. A recta &m deve, pois, ser parallela a VX. piano passando 

 por Q perpendicularmente a F? encontra o piano DqE n'uma recta uk per- 

 pendicular a Am e a recta VD no ponto K. A recta Q.K representa portanto 

 a menor distancia das rectas Fy e VD. 



Dando uma rotacao de 180° em torno de VX ao quadrilatero empenado 

 VFQ.K, os vertices Ve F conservar-se-hao immoveis, os pontos Q e K irao 

 para QI e K' e a recta Q/K' sera por consequencia a menor distancia de Fy 

 a VE. 



A recta VD, depois de uma translaclo egual e parallela a Q.QI, ira con- 

 fundir-se com a recta V t S v raja projeccao no piano VDE sera wB, sendo AB 

 a menor distancia das rectas VE e VJ^. Dando, depois, uma rotagao egual a 

 K^'K' em torno de Fy a recta V 1 K 1 esta recta descrevera uma porcao de by- 

 perboloide de revolugao e acabara por se confimdir com VE, visto que as re- 

 ctas V 1 K 1 e VE nao estao no mesmo piano. 



N'este duplo movimento cada ponto de VD percorre uma recta egual e pa- 

 rallela a QQ,' e nm arco de circulo variavel e egual ao producto do angulo 

 K X Q.'K\ constante para todos os pontos de VD, pelo raio £lK=QJ K X =Q!K' 

 variavel. Todas estas trajectorias mixtilineas dos diversos pontos de VD po- 

 dem comtudo substituir-se por helices com o eixo commum Fy e com urn 

 passo reduzido constante e egual a 



Estas helices existem portanto n'uma superficie regrada helicoidal, tendo 

 por eixo Fy e por geratrizes VD e VE. 



Qualquer outra recta, que encontre orthogonalmente VX ou VZ, esta no 

 mesmo caso que Fy e pode por consequencia considerar-se como eixo d'um he- 

 licoide regrado, que tenha por geratrises VD e VE. 



64. — As rectas, que nao cortarem orthogonalmente uma das duas bisse- 

 ctrizes, FA ou VZ, nao sao eixos de helicoides regrados, que tenham por ge- 

 ratrizes VD e VE. 



