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ESTUD0 SOBRE DESLOCAMENTO 



dos triangulos eguaes ABC e A'B'C uma das faces, a que chamaremos rosto 

 do piano, da outra, que sera o verso do planu e consideraremos sempre como 

 rostn a face sobre que esta desenhado o triangulo. Na figura 14 os rostos dos 

 pianos P e P' sao as faces yoltadas para o observador. 



Era geral a sobreposicao de duas tiguras planas eguaes pode alcangar-se 

 pondo em contacto as faces do mesmo nome, ou as de nome contrario. Na 

 fig. 14 os triangulos ABC e A'B'C estao dispostos de modo tal que, para so- 

 brepor um ao outro, e indispensavel p6r em contacto as faces de nome con- 

 trario dos pianos P e P'. 



Admittida esta distinc^ao entre as duas faces de um piano, consideremos 

 o diedro formado pelas faces do mesmo nome dos pianos P e P', isto e, o die- 

 dro em que estas faces estao voltadas uma para a outra, imaginemos o piano 

 bissector d'elle e cortemos as suas duas faces por um piano Q parallelo ao 

 mesmo piano bissector. Obteremos assim duas rectas nrn e n'p', a primeira 

 no piano P e homologa de uma recta n'm' existente no piano P', a outra no 

 piano P' e homologa da recta np do piano P. 



Dividindo ao meio os angulos homologos mnp e m'n'p', levantando pela 

 bissectriz nd do primeiro um piano ndD perpendicular a P, e pela bissectriz 

 n'd' do segundo um piano n'd'D' perpendicular a P' e, procurando as inter- 

 seccoes d'estes pianos com o piano Q, acham-se as rectas nD e n'D', que na 

 figura sao parallelas entre si. 



Com effeito, observando os angulos triedros nmDp e n'm'D'p', reconhe- 

 ce-se que elles sao isosceles e que os angulos diedros oppostos as faces eguaes 

 sao eguaes a metade do diedro formado pelos pianos P e P', e como tambem 

 sao eguaes os angulos mnp e m'n'p', segue-se que os dois Iriedros sao eguaes 

 entre si. Os angulos Dnm e D'n'p' sao, pois, eguaes e como dois dos seus 

 lados, nm e n'p', sao parallelos, os restantes, nD e n'D' hao de ser tambem 

 parallelos, ou estar symetricamente dispostos em relacao a uma perpendicular 

 aquellas parallelas descritas no piano Q. Para nos convencermos, porem, de 

 que na figura 14 as rectas nD e n'D' sao parallelas, tiraremos por n' uma 

 parallela n'p i a np e teremos assim n'um piano P, parallelo a P um angulo 

 m i n'p i egual a mnp. A recta n'D', porque esta no piano Q, faz angulos eguaes 

 com os pianos P t e P' e pode portanto ser tomada para eixo de um cone de 

 revolugao tangente a estes dois pianos. A geratriz de contacto do cone com o 

 piano P' e evidentemente a bissectriz n'd' do angulo m'n'p'; a geratriz de con- 

 tacto do mesmo cone com o piano P, ha de formar com a interseccao J, F, dos 

 dois pianos tangentes o mesmo angulo, que com ella forma n'd 1 , e so pode por 

 consequencia ser a bissectriz n'd t do angulo m t n'p t . triedro n'm^'p, re- 

 presenta, pois, uma das posicoes occupadas pelo triedro n'm'D'p', quando 

 gira em torno de n'D', e consequentemente sao eguaes estes dois triedros. 



