a 
Bestimmung der Wendepunkte. 
= Da unsere Kurve eine solche 4. Ordnung mit 2 Doppelpunkten 
‚ ist, so besitzt sie nach Massgabe der diesbezüglichen Plücker’schen 
Formel 12 Wendepunkte. Zur Auffindung derselben benützen 
wir die Gleichung (20), welche die Länge des Krümmungsradius eines. 
beliebigen Kurvenpunktes durch elliptische Functionen des Argumentes 
u ausdrückt. In einem Wendepunkt wird aber der Krümmungsradius. 
e unendlich gross; damit das in der obigen Gleichung ein- 
tritt, muss der Nenner der rechten Seite gleich 0 werden; also: 
sn‘u!a.dndu-+3d.dntu-FH2a.dn?u—2dk‘?. dn?u—3ak‘*. dn u-dk®| —0.(2:0) 
Diese Gleichung zerfällt in die folgenden: 
sn u0 
und (28) 
a.dndu + 3d.dntu + 2a.dn?u — 2dk“. dn?u — 3ak“*dn u — dk = 0 
Die erste dieser Gleichungen (28) ist erfüllt für u = 0 
und » u=-+ 2iK'‘. 
\ Dem Argument u=0 entspricht der Punkt mit den Coordinaten: 
i x—=d-+a; 
“ und y.==.°°. 
Dies ist der unendlich ferne Punkt der Asymptoie A». 
Dem Argument u = + 2iK’ entspricht der Punkt mit den Coor- 
dinaten: x—=d—3; 
und „= co | 
RETTEN 
ET EEE TEE SO NUENT UTETERERTTEEE NT TEN 
Dies sind die Coordinaten des unendlich fernen Punktes der Asymp- 
tote Aı. 
FR Es liegen also zwei Wendepunkte im un- 
endlieh fernen Doppelpunkt der Kurve; des 
F. selbe ist mithin ein doppelter Inflexionsknoten 
er für alle Fokalen. 
Fr Die übrigen 10 Wendepunkte liefert uns die zweite der Gleich- 
ungen (28). Dieselbe ist vom 5. Grade in dn u; sie liefert uns also 
5 verschiedene Werte für dnu. Die Deferente ist aber eine gerade 
Funktion; jedem Werte derselben entsprechen deshalb zwei Argu- 
mente u, die dem absoluten Werte nach gleich, dem Vorzeichen nach 
FF aber verschieden sind. Wir erhalten also 10 verschiedene Werte U, 
[F von denen sich die einen 5 nur durch das Vorzeichen von den ander 
r 5 unterscheiden. Jedem dieser Werte von u entsprechen nun die 
+ Coordinaten eines Wendepunktes, welche mit Hülfe der Gleichungen 
