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fallen die beiden endlichen Doppelpunkte zu- 
sammen in G, nämlich: 
für y +0: wird x a — 0 
und or x ad 
Der NullpunktC ist mithin Selbstberührungs- 
punkt oder Selbstberührungsknoten; die x-Axe 
ist Tangente an beide Zweige der Kurve, die 
sich in ihm berühren. (Fig. 10.) 
Construktion der Kreiseylinderfokalen. 
Die auf C als Ursprung bezogene Kurvengleichung lautet: 
2.@—- 9) +2’ + dx? — » a 
oder +) +2 x + =}. 2 re (46) 
Es ist nun P ein beliebiger Punkt der rn oe sein Radius 
vector GP und @ der Winkel, welchen o mit der x-Axe einschliesst ; 
dann erhalten wir aus (46): 
+ 2de.cosp +d?. (os?p + sinpo)=1?.tg?p . (47) 
und hieraus: 
e= —d.wsp LYE Roos .1gp;..... (47°) 
Ist 4>1, so erhalten wir auf den durch C gehenden Strahlen nur 
l 
dann reelle Kurvenpunkte, wenn coso < Er 
Die obige Gleichung (47?) führt nun dazu, Punkte der Cylinder- 
fokalen zu construieren. Sie liefert uns nämlich folgenden Satz: 
Senlaet man um GC als Mittelpunkt einen 
Kreis vom Radius 1, zieht durch O einen vari- 
ablen Strahl, der dıesen Kreis ın 2 reelten 
Punkten G und 6‘ schneidet, und fällt von diesen 
Bunkten Senkrechte auf 0G, so treffen diese 
das aus C auf den Strahl 06 gefällte Lot CO ın 
2 Punkten P und P’ unserer Fokalen. 
Der Beweis ist der folgende: (Fig. 11.) 
Rs ist +.GQ.==.d . 008%. 
Ferner ist: OGP = p; denn die Schenkel stehen senkrecht zu 
denen von A’CP; somit: 
QP = 06. ge 
und 06 = Yaar. 008, 
also 
