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(gebrochener und imaginärer Index) und leitet nochmals in einfachster 
Weise vollständig die Mittelpunktsgleichung ab. Abschnitt V endlich 
weist auf die Resultate hin, welche Schlömilch erhalten hat, und ist 
vorzugsweise der Betrachtung jenes unter dem Namen «Schlömilch’scher 
Lehrsatz» bekannten Theorems gewidmet. 
Bei der Bearbeitung dieses Stoffes wurde auf möglichste Kürze 
und Exaktheit der grösste Wert gelegt; deshalb blieben jegliche histo- 
rische Notizen. welche anderswoher leicht zu entnehmen sind, von 
der Aufnahme in vorliegende Arbeit ausgeschlossen. Dafür wurde aber 
auf genaue, wenn auch oft nur angedeuteie Durchführung der Neben- 
rechnungen Rücksicht genommen, weilich öfters, namentlich beim Studium 
der Bessel’schen Arbeiten, fand, wie mühsam und zeitraubend es unter 
Umständen sein kann, derartige fehlende Zwischenrechnungen zu er- 
gänzen. 
Von der Herleitung vieler Gleichungen, von denen ich auszu- 
gehen gezwungen war, musste indessen, um die Einheit vorliegender 
Arbeit nicht zu stören, abgesehen werden; ihre Ableitung kann in den 
am Schlusse angegebenen Schriften eingesehen werden. 
Um sich leichter auf bereits gefundene Gleichungen beziehen zu 
können, wurden einige derselben numeriert; eine sonstige engere Zu- 
sammengehörigkeit soll damit nicht ausgedrückt sein. 
Die Bessel’sche Funktion erster Art für das Argument x und den 
Index n sei ausgedrückt durch: 
n 
yo; 
sie ist als partikuläre Lösung der Gleichung: 
d’y 4 =dy [ 2) 
EB rege 12 = |y=0 
dx? hr x ux Er al} 
anzusehen, welche die Differentialgleichung oder Definitionsgleichung 
der Bessel’schen Funktion erster Art genannt wird. 
Für den Specialfall: n = 0 wird: 
0 
=) 
und die entsprechende Differentialgleichung lautet: 
d’yı 1 dya 
nn 1 — ll 
dx? x. 0X ei 
