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Im weitern fand Bessel, dass die Funktion } (k) mit den Sinus 
und Cosinus die merkwürdige Eigenschaft gemein hat, immer, 
wenn ihr Argument von 2nsz bis zu (2n -H 2). wächst, zweimal 
zu verschwinden und dann das Vorzeichen zu wechseln. Zum Beweise 
0 g 1 
zeigt er, dass J (k) vonk = mx bis (m = 3) zc immer positiv 
ist, wenn m eine gerade Zahl, und immer negativ, wenn m eine un- 
gerade Zahl ist. 
Ö 
Diese Eigenschaft kommt der J-funktion nicht allein zu, sondern 
alle J-funktionen besitzen eine ähnliche. Man hat nämlich, wenn man 
5 Na : i 
in Gleichung 26) der Kürze wegen J (k) durch | = Er una) 
durch x bezeichnet: 
,(i) 
PD ae ee, 
| dz 
| woraus folgt, dass pH verschwindet, wenn R’' ein Maximum oder 
i 
} 
Minimum ist: allein zwischen zwei Werten von k oder z, für welche 
6) ae Sr 
R” verschwindet, liegt notwendig ein Maximum oder Minimum, also 
r 1 
auch ein verschwindendes R"*”. Es ist daher klar, dass J (k) ebenso 
= 1 
diesen beiden Werten von k, für welche J (k) verschwindet, liegt in 
160) 
’ 
3 
. 0 [ . 
oft Null wird, so oft J(k) ein Maximum oder Minimum ist. Zwischen 
| 
ganz gleicher Weise immer ein Maximum oder Minimum von R 
\ 
j 
daher ein verschwindendes J (k) RE 
Als Anwendung, welche Bessel von der J-funktion machte, 
| ist diejenige auf die Mittelpunktsgleichung zu erwähnen. 
| Er war bekanntlich der erste, welcher die E ntwicklung der 
Mittelpunktsgleichung und des Radius-Vektors m 
| Reihen, die nach den Sinus und Cosinus der mittleren Anomalie fort- 
| Schreiten, durch eine Integration angegeben hat, wobei er einen schon 
von Euler im XI. Bande der «Nova Acta» der Petersburger Akademie 
veröffentlichten Satz benutzte. In der Zeitschrift für Astronomie und 
in den Abhandlungen der Berliner Akademie von 1816 und 1817 ist 
seine Methode zuerst publiziert worden. Später hat er dieselbe Auf- 
gabe in der cilierten Abhandlung von 1824 nochmals mit Anwendung 
der J-funktion zu lösen versucht und erhielt dabei ein ganz einfaches 
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