— 256 — 
führt: «Untersuchungen über die Funktion ı (k) mit Anwendungen auf 
das Kepler’sche Problem», worin er zeigl, dass die einfachen Gesetze, 
denen diese Funktion unterworfen ist, wenn für h eine ganze Zahl 
genommen wird, sich sehr einfach und im Zusammenhange aus 
ihrer Erklärung in Verbindung mit dem zuerst von Euler aufge- 
stellten allgemeinen Theorem, nach welchem eine Funktion in eine nach 
den Sinus und Cosinus der Vielfachen des Argumentes fortschreitende 
Reihe entwickelt werden kann, ableiten lassen. Ferner gibt er auf 
höchst scharfsinnige und elegante Weise die Entwicklung der Funktion 
für den Fall, ng h eine gebrochene Zahl ist, und teilt für die Ent- 
wicklung von J (k) in eine nach den absteigenden Potenzen von k 
fortschreitende Doppelreihe zwei neue Methoden mit, von denen na- 
mentlich die zweite grösseres Interesse verdient. 
Die bekannten Ausdrücke für sin®*!& und für sin? & als li- 
neare Funktionen der Sinus und Cosinus der vielfachen Winkel*), wo 
i jede ganze Zahl bedeutet, geben leicht die Gleichungen: 
an : 
[si ae. sintede—0, 
56 { 
) ar : 
[eos (2i‘ +1) e. sin’ede—= 0, 
ö 
wo i‘ ebenfalls jede ganze Zahl bedeutet, 
Da nun keine geraden Polenzen von sine in der Entwicklung 
von sin (k sin e), und keine ungeraden in der Entwicklung von 
cos (k sin e) vorkommen, so wird nach Gleichung 56), wenn h eine 
gerade Zahl bedeutet: 
*) Es ist nämlich für jedes -ganzzahlige i: 
2i--1 
Ey at ein AND E— —— sin (d—1)e 
Sa Ag d)e2,, LEN N 7 = > ee ee GH® sine 
und ; De 
(— 1)! AT ging — cos 2ie — 70082 Gi—1)ece-+ Aezn cs? i—2)Ew 
Y 1 A&i-Yi—9...G-4D, 
Be 2.3.81 
Multipliziert man die erste dieser Gleichungen mit sin 2i‘ e, die zweite mit 
cos (2i‘ 4 1) e und integriert zwischen den Grenzen (0 und 27, so entstehen die 
Gleichungen 56). 
