43 



hing spezieller Funktionen noch weiter erläutert werden. Unter 

 anderen hat Herr Prof. Amstein in Lausanne einige Funktionen be- 

 handelt und seine Untersuchungen im Bull, de Ja Soc. Vaud. d. Sc. nat. 

 veröffentlicht. Die vorliegende Arbeit hat zum Gegenstände die kon- 

 forme Abbildung des Innern des Einheitskreises auf das Innere einer 

 Epicycloide mit 4 Spitzen und die damit zusammenhängende Rie- 

 mann'sche Fläche. 



Die Werthe einer komplexen Variablen z seien geometrisch 

 dargestellt in einer Ebene (z) und diejenigen einer zweiten komplexen 

 Variablen w = f(z), einer Funktion von z, in einer zweiten von der 

 ersten verschiedenen Ebene, der Funktio'nsebene (w). 



Durchlauft die eine Variable in ihrer Ebene eine Kurve, so 

 durchläuft die andere in ihrer Ebene die entsprechende Kurve, ent- 

 sprechende Kurven in den beiden Ebenen schneiden sich unter den- 

 selben Winkeln und entsprechende Figuren sind in den kleinsten 

 Tbeilen ähnlich; eine solche Abbildung heisst eine konforme und die 

 bestehende geometrische Verwandtschaft eine isogonale. Ausnahme 

 findet nur in den Verzweigungspunkten statt. 



Die Funktion, welche im vorliegenden Falle die Abbildung ver- 

 mittelt, ist 

 1) w = f (z) = 5 z — z 5 



Die Verzweigungspunkle der w Ebene erhält man für diejenigen 

 Werthe von z, welche w', die erste Derivirte, zu Null oder unendlich 

 machen, also aus 



w' b= 5 — 5 z 4 = 0, 



4_ 



woraus z = y 5 folgt. Es geschieht dies somit für die 4 Werthe 

 z = -f- 1 und z = + i, ferner ist w' — oo für z = oo. 

 Die 5 Verzweigungspunkle der w Ebene sind also: 

 w = ■ | 4, w = + 4 i und w = co, 

 wobei der letzlere ein vierfacher Verzweigungspunkt ist. 



Setzt man : 



w == g -f- 1} i und z = \ -\- y i = r ä f 

 so folgt aus Gleichung 1.) durch Einsetzen : 



§ = 5 r cos q> — i' r ' cos 5 </> 

 2) ij = 5 r sin <p r 5 sin 5 q> 



Den Werlhen r = konstant, d. h. den Kreisen um den Nullpunkt 

 der z Ebene entsprechen EpitrochoUen, Rollkurven, für welche der 

 Radius des festen Kreises gleich 4 r, der des rollenden r und der 



