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Für r > \jh schliessen die vier Schleifen den Nullpunkt ein, die 

 Epilrochoide hat 16 Doppelpunkte, auf jeder der Axo und auf 



■jr, 



je vier 



dieselben 



jeder der Winkelhalbirenden + -j- je vier, dieselben liegen 



viermal zu je vieren auf Kreisen um den Nullpunkt. 



In den Grenzfällen r = u. r = <x> wird die Epilrochoide zu 

 einem Kreis mit unendlich kleinem resp. unendlich grossem Radius. 



Ist <p = konstant, so erhält man diejenigen Kurven in der w 

 Ebene, welche den Sirahlen des Büschels der Geraden um den Null- 

 punkt der z Ebene von der betreffenden Neigung q> entsprechen. 

 Diese Kurven bilden die Orlhogonalschaar zu den Epitrochoiden. 



Durch Elimination des variablen r aus den Gleichungen 2.) er- 

 gib! sich ihre Gleichung in rechtwinkligen Coordinaten : 



8) fj sin 5 <p — *j cos 5 ff = 5 r> . sin 4 4 <p fj sin <p — ij cos <p) und 

 in Polarkoordinaten, indem man £ = q cos r\ und rj = q sin xp setzt: 



9) q 4 = 5 5 sin 4 4 <p sin (<p_ — i/Q 



sin r> (5 y> — i/') 

 Es sind diese Kurven Parabeln fünfter Ordnung mit einem vier- 



fachen Punkt im Unendlichen in der Richtung '.- = tg 5 <p, derselbe 

 isl eine Spitze von der besonderen Art, dass die unendlich fernen 

 Gerade als Tangente in demselben die Kurve in fünf aufeinander 

 folgenden Punkten schneidet. Sämmtlicbe Parabeln gehen durch den 

 Nullpunkt, und jede hat in demselben eine [nflexionslangente 



tg <p, mit 5 zusammenfallenden Berührungspunkten, 



sie hat 

 Jede 



dieselbe Neigung, wie der entsprechende Strahl der z Ebene. 

 Parabel besteht aus einem ununterbrochenen, nach 2 Seilen sich ins 

 Unendliche erstreckenden Zweige, dessen Punkte symmetrisch zum Null- 

 punkt liegen. Die Abschnitte derselben auf den Axen sind dem ab- 

 soluten Werthe nach gleich oder grösser als 4. 

 Für ( p — oder = n wird nach Gleichung 8): 



■rf = 0, d. h. der reellen Axe der z Ebene entspricht die fünf- 

 fach gelegte reelle Axe f der w Ebene. 



Pur < <p < -^ r schneiden die Parabeln die £ Axe zwischen 



und 



- 4 



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oo. 



Füry>=— isl der unendlich ferne Punkt der v { Axe vierfacher Punkt 



