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punkton. Dieser 5. Ast wird viermal zu einer Geraden durch den 



Nullpunkt, fallt also mit seiner Asymptote zusammen mit den Neigungen 



n „ 3 /r n "L IL iLL 



<p=0, — ' — ' — für die Werthe y = 0, 4 ' g » 4 



Diejenigen Geradon dos Büschels, welche durch die Yerzweigungs- 

 punkte w = I- 4, w = I -4 i der w Ebene gehen, also die Goordi- 



natenaxen y = oder = rt und y = - - oder - — , liefern Isophasen mit 



Knotenpunkten in den entsprechenden Punkten der z Ebene, in 

 z _ -f- 1 z = + i; diese 4 Knotenpunkte heissen nach Klein die 

 Kreuzungspunkte~Äer z Ebene. Die durch dieselben gehende Isotime, 

 welche dem Kreise mit dem Radius R = 4 entspricht, hat ihre Doppel- 

 punkte ebenfalls in diesen Kreuzungspunkten und halbirt die Winkel 

 der Isophasen mit Knoten. (Tafel IL) 



Die Gleichungen dieser Isophasen erhält man aus Gleichung 17). 



1. Für y = oder y = tv : 



r "i sin 5 <p = 5 sin cp 



5 ' 5 



Die obige Gleichung zerfallt in : 



sin (p = also <p s=s 

 d. h. der öle Ast fällt mit seiner Asymptote, der reellen Axe x der 

 z Ebene zusammen. Und : 

 18) r 4 (16 cos 4 (f — 12 cos 2 f -f- 1) = B. 



Diese Gleichung liefert 4 hyperbolische Aeste, zwei derselben 



7t 4iT 



A und A' zwischen den Asymptoten <p — — und <p = — — liegend, 



5 5 



gehen resp. durch die Kreuzungspunkte z == ± 1, welche Doppel- 

 punkte sind, die durch den Schnitt der Zweige A, A' mit dem 5. Zweig, 

 der x Axe, entstehen, die beiden andern Zweige a und a, zwischen 



Asymptoten : y = 0, 



3 7t , 4/f 



— - und 



5 5 



den Asymptoten <p 



2ft 



und <p = 



3/r 



liegend, gehen resp. durch 



die Wurzelpunkte z = + i y 5 . 



Eür v = — oder y ■■ 

 ' 2 



- erhält man aus 17) die zweite 

 2 



Isophase mit Knoten : 



r 4 cos 5 <p = 5 cos cp 



