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Seien zi, Za, zs, n und zs die 5 einem Werthe von w ent- 

 sprechenden Werthe der aus der Gleichung w = 5 z — z 5 hervor- 

 gehenden Umkehrungsfunktion 7, == F (w). Das erste Blatt sei der 

 Ort der Variablen w für die Fanktionswerthe zi , das 2te Blatt der- 

 jenige für die Werthe za u. s. w. Die rechte und linke Seile eines 

 Blaues werde nach der rechten und linken Seite eines Beobachters 

 bezeichnet, der im Nullpunkt sich befindet und nach den Verzweigungs- 

 schnitten hinsieht. 



Bewegt sich nun w auf einem Kreise Radius >> 4, so ist die 

 Linie nur dann wirklich geschlossen, wenn sie 5 Umläufe macht, 

 bevor sie wieder zum Ausgangspunkte zurückkommt, denn erst dann 

 nimmt die Funktion z wieder ihren ursprünglichen Werlh an. Dass 

 dies bei der getroffenen Zusammenheftung der Blätter wirklich der 

 Fall ist, lä'sst sich leicht zeigen : 



Geht man z. B. mit w in positiver Richtung auf der linken 

 Seite des ersten Blattes von einem Punkte Pi aus, dem ein bestimmter 

 Funklionswerlh zj entspricht, und lässl in einem die Yerzweigungs- 

 punkte umschliessenden Kreise, R >* 4 im ersten Blatte die Funktion 

 zi = F (w) sich stetig ändern. Beim Ueberschreilen des Yerzwei- 

 gungsschnitles « im Punkte P2 geht der Funklionswerlh zi in Z2 

 über, es muss daher die Variable w beim Ueberschreiten desselben 

 stelig in das 2lo Blatt übergehen, welches der Ort der Variablen w 

 für die Funktionswerthe Za ist! Beim Ueberschreiten des Verzweigungs- 

 schniltos ß in Ps geht w in's 3te Blatt über, beim Verzweigungs- 

 schnitt <c in W in das 4le Blatt und heim Verzweigungsschnitt 

 ß' hei Ps auf die linke Seile des ölen Blattes. (Tafel 111.) Die 

 Variable w macht nun im ölen Blatte einen ganzen Umlauf, zurück 

 zu demselben Punkle Ps auf der rechten Seile des Verzweigungs- 

 schnittes ß' . 



Beim Ueberschreiten dieses Verzweigungspunktes geht /.:, in u 

 über, somit gehl w ins vierte Blatt zurück, macht in demselben einen 

 Umlauf bis I>4, geht dort in das drille Blatt zurück, läuft dort bis Ps, 

 geht ins 2te Blatt zurück, bewegt sich in diesem bis Pa im Yer- 

 zweigungsschnitt et, geht ins erste Blatt zurück und kommt nach 5 

 Umläufen wieder zum Ausgangspunkt Pi zurück, die Kurve ist eine 

 wirklich geschlossene, also auch die entsprechende Isotime in der 

 z Ebene. 



Durch obige Festsetzung des Entsprechcns der öblätterigen 

 Riemann'schen Fläche und der z Ebene, liegt die Epicycloide mit Spitzen 



