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2aia2\i 4 ; *) somit lautet die 



1122 = 2a3aixi 4 , U23 == , 1133 = 

 Gleichung des Tangentenpaares in Ai : 



asX2 2 — a2X3 a = oder 

 (Vää . X2 -f- \/a77 xs) . (\J~a7~. xa — \/äT~. xs) = . 



Hieraus sieht man, dass die Tangenten im Doppelpunkt Ai die 

 resp. Inversen der p - Tangenten aus Ai sind. Ganz dieselben Tangenten 

 hat die Gurve p' im Doppelpunkt Ai, was auch schon aus dem Um- 

 stände folgt, dass A1Q1 und Ai'Qi* den Kegelschnitt p in Qi resp. Qi* 

 berühren. — Um zu untersuchen, von welcher Art der Doppelpunkt 

 Ai ist, bestimmen wir die Schnittpunkte der Tangenten asxa 2 — aaxi 2 



aa 



mit der Gg. xa 2 = — xs 2 in (I) substituirt, gibt : 



:<> 



aaasxv 



\3 J 



X3 



haiaäcte* x;r 



■Xl 



aia2X3" xi- 



32 

 a3 



-X3' 



oder X3 4 



(2ai -f- 32 — 33) xi'' 



ai(as -f- 33) 



33 



X3 J 



= 0. 



Für A2 



ist 



X3 4 = sagt aus, dass in Ai vier Schnittpunkte zusammenfallen ; 

 jede der Tangenten in Ai hat also in Ai vier zusammenfallende Punkte 



mit der Ce gemein (mit einem Aste drei, mit dem andern einen), ist 

 daher Infiexionstangente und der Punkt Ai ein doppelter Inflexions- 

 knoten, wie bei der Gurve p'. 



. X8 = , 



U11 = 2a233X2 4 ; 1112 = ; uis = 

 U22 = ; 1123 = ; U33 = — 2aia 2 X2 4 . 



Die Tangenten der Gc im Doppelpunkt Aa haben daher die 

 Gleichungen 



asxt 2 — aixs 2 = oder 



\/3s . xi -f- sfsä. . Xs = 0, \[äs . xi — \/ai .xs = ; 

 dieselben stimmen überein mit den Gleichungen der Inversen der 

 p - Tangenten aus A2. Die Tangenten der Co in A2 sind, also identisch 

 mit den Tangenten der Ci in Aa ; sie sind für beide Gurven Inflexions- 

 tangenten und Aa ist somit auch, wie Ai, ein doppelter Inflexions- 

 knolen für p' und Ce. 



*) Hier bedeutet xi eine Constante, nämlich die erste Coordinate von Ai, 

 also das zu A2A3 gehörige Höhenperpendikel des Dreiecks A1A2A3, wenn der 

 Radius des dem letztern eingeschriebenen Kreises gleich der Einheit ist. 



