14 



Endlich erhält man für die Tangenten der Ca im Doppelpunkt A3: 

 aaxi 2 -f- aixa 2 = oder 



yas . ki -f- iyai . X2 — , yää . xi — iyai . xa = . 

 A3 ist also ein Doppelpunkt mit imaginären Tangenten, d. h. ein 

 isolirter Punkt der Ce. 



Die Punkte E, Ei, Ea, E3 sind, wie schon gezeigt worden, eben- 

 falls Doppelpunkte der Co ; diess wird dadurch bestätigt, dass für 

 dieselben die Ausdrücke ui, ua, us verschwinden. Ferner ist für 



E 



XI = 1 

 X2 = 1 

 X3 = 1 



un = 8ai(a:s — aa) ; 1112 = 8aiaa ; U13 = — 8aia3 

 1122 = 832(33 — 3i) ; U23 = — 83283 ; U88 = 8as(ai -f-aa). 

 Das Tangentenpaar im Doppelpunkt E hat demnach die Gleichung 

 ai(as — aa) . xi 2 -f- aa(a3 — ai) . X2 2 -f- as(ai -j- aa) . xs a 

 -j- äaiaaxixa — 2aiasxiX8 — 23233x2x3 = 0. 



Dasselbe stimmt überein mit dem von E aus an den Kegelschnitt 

 p gehenden Tangentenpaare, denn die Gleichung desselben lautet : 

 (aixi 2 -f- a2\2 2 — 33X3 2 ) (ai -j- a2 — aa) = (aixi -f- 32X2 — a3X3) 2 

 oder ai(aa — a2)xi 2 -f- aa(as — ai)X2 2 -j- as(ai -f- aa)x8 2 



-f- 2 3ia2XiX2 — 2aiasxiX8 ■ — 2aaasXaX8 = 0. 

 Je nachdem E ausserhalb oder innerhalb des Kegelschnittes p 

 liegt, sind die Tangenten in E reell oder imaginär und E ist daher 

 ein Knotenpunkt oder ein isolirter Punkt der Ce. 



Analog verhält es sich mit den Punkten Ei, Ea, Es. Enthält 

 der Kegelschnitt p einen der vier Punkte E, Ei, Ea, E 3 , dann muss 

 er alle enthalten, weil für sämmlliche vier Punkte ai -f- aa — -88 = 

 sein muss; in diesem Falle ist p eine gleichseitige Hyperbel. Die 

 Punkte E, Ei, E2, Es liegen sämmtlich entweder ausserhalb oder inner- 

 halb des Kegelschnittes p oder alle auf demselben und zwar 

 ausserhalb, wenn as <C ai -J- aa 

 innerhalb, wenn as >■ ai -j- a2 

 auf p, wenn 33 = ai -j- aa . 



Für die P 



U2 = 2asai 

 113 = 



33 



vte Qi und Qi* ist xi == , x 2 2 = — \3 2 , daher ui = 



33 , 

 . X8° 



aa 



aia3 2 



4ai33 



X3" 



as 

 a2 



aias 2 



X8 Ö 



X3° 



laias 



V / — . xs° 



V a2 



2aia3 2 



a2 



X3" 



