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ai 2 xi 2 -f- a-2 2 \2 2 -f- a 3 2 x 8 2 — äaaasxsxs — 2asaiX3Xi — äaiaaxixa = 

 allgemein einen Kegelschnitt vor, welcher die Fundamentallinien berührt. 

 Ausser dem betrachteten Falle, in welchem ai, aa, as positiv sind, 

 können folgende Fälle vorkommen : 



ai negativ, aa und 33 positiv 



aa « ai « aa « 



as « ai « aa « 

 d. h. entweder können in der Kegelschnittsgleichung alle drei Doppel- 

 produkte negativ sein oder es sind zwei der Doppelprodukte positiv, 

 während das dritte negativ ist. Bedeuten z. 13. ai, 82 positive Zahlen 

 und ist 33 = — «3, so ergeben sich für die Curven p, p' und Co 

 folgende Gleichungen : 

 p) 3i 2 xi 2 -j- 32 2 X2 2 -f- «3 2 xs 2 -f- 2a2«3X2Xs -f- 2ßBaiX8Xi — 2ai32XiX2 = 



P') 3l 2 X2 2 X3 2 -(- a2 2 Xl 2 \3 2 -f- «3 2 Xl 2 X2 2 |- 232«3\1 2 X2\3 -f- 2«33lX2 2 XsXl 



23l32X3 2 XlX2 = 



Ce) 3lX2X 3 (X3 2 — Xl 2 ) (Xl 2 X2 2 ) -\- 32XiX 3 (X2 2 — xs a ) (xi 2 — X2 2 ) 



— r«xiX2(X2 2 — X3 2 ) (X3 2 — xi 2 ) — 0. *) 

 Der Kegelschnitt p berührt die Fundamentaldreiecksseile A1A2 

 und die Verlängerungen der Seiten AiAs, A2A3, so dass säramtliche 

 Punkte von p ausserhalb des Fundamentaldreiecks liegen. Die ihm 

 entsprechende Curve vierter Ordnung p' liegt in Folge dessen eben- 

 falls ganz ausserhalb des Dreiecks A1A2A3 und besitzt zwei reelle un- 

 endlich ferne Punkte, da p den Kreis K zwei Mal schneidet. Die Cr> 

 hat in diesem Falle nur zwei reelle unendlich ferne Punkte und besteht 

 aus einer hyperbelähnlichen Curve (zwei unendlichen Aesten) und zwei 

 Ovalen, von denen das eine mit der Ellipse X2 2 — xixs = die 

 Punkte Ai, A3, E, E2 und die Tangenten in Ai und As. das andere 

 mit der Ellipse xi 2 — xaxa = die Punkte A2, A3, E. Ei und die 

 Tangenten in A2 und. As gemein hat. (Vergl. Fig. 2 in Tafel IV, wo 

 p den die Fundamentallinien berührenden kreis bedeutet, dessen Mittel- 

 punkt Es ist.) **) 



*) Diese Gleichungen erhält man aus den früheren auch dadurch, dass man 

 X3 durch — X3 ersetzt. 



**) Dieser Kreis hat die Gleichung 



cos- 



Ai 



Y» 



• \/x2 ~f- COS — V X3 = 



und die Gleichung der Cg lautet : 



COS 2 —-- X2X3(X3 2 — xi 2 ) (xr - 



A2 



X2 2 ) -f- COS 2 — 1 - XlX3(X2 2 X3 2 ) (Xl 2 X2 2 ) 



■ COS 2 — XlX2(X2 2 



X3 2 ) (X3 2 XI 2 ) 



0. 



