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III. Der Kegelschnitt p sei die Ellipse, welche die Punkte Ai, A , E, E, 

 enthält und die Fundamentallinien A A und A A in A, resp, A 2 berührt. 



i. 



Die Gleichung von p lautet : 

 p) xs 2 — X1X2 = ; die Curve p' ist mit p identisch. 

 Wir schreiben die Gleichung : 



I 



Xl 

 X3 



\2 



Xs 



und setzen wieder 



X2 

 X8 



= X ; diess gibt : 



I 



X . 



- = 0. woraus iolgt: • - = -=- 



Xs Xs X 



Für einen Punkt P;. auf p ist dabei' 



xi : X2 : xs = 1 : X- : X. 

 Da für die Ellipse p (f = 0) 



ft = — X2 . fa = — xi , fs = 2x3 , 

 so hat die Tangente der Ellipse in P;. die Gleichung : 



2. U) A 2 \i -f- xs — %X%a ■==■ ; der ihr correspondirende Kegel- 



schnitt heissl : 



3. i>.') Ä. 2 X2X3 + xixs — 2^x1x2 = 0. 



Xs(X! 2 — X2 2 ) 



Aus (2) und (3) folgt : X = 



2x2(xr — xs-) 



slitution dieses Werlhes in Gl. (2) erhält man: 



und durch Sub- 



XlX3 2 (xl 



X2 2 ) 3 



4x2 2 (xi 2 — xs 2 ) 2 



f» 



X3 2 (Xl 2 — X2 2 ) 



X2(X1 



X3 2 ) 



= 



oder 



III.) xs 2 (xi 2 — \2 2 ) 2 - 4xixa(x2 2 - xs 2 ) (xs 2 - xi 2 ) = 0. 



Diess ist die Gleichung der im Falle (III) erzeugten Curve sechster 

 Ordnung. 



Aus der Erzeugungsweise der Ce geht zunächst hervor, dass Ai 

 und As, weil auf p gelegen, Spitzen der Ce werden und für beide ist 

 xs = Rückkehrtangente; diess bestätiget auch die Rechnung. Für 

 die Schnittpunkte der Curve mit xs = hat man nämlich 



4xi 3 X2 3 = 0, woraus folgt: xi 3 = und X2 3 = 0, 



d. h. xs = hat in Ai und A2 mit der Co je drei zusammenfallende 

 Punkte gemein. Ferner ergibt die Rechnung, dass das Tangentenpaar 

 in jedem der Doppelpunkte Ai und A2 die Gleichung xs 2 = hat, 

 dass also Ai und A2 Spitzen der Ce sein müssen, deren Tangenten mit 

 A1A2 zusammenfallen. — Wenn 11 = die Gleichung (III) bedeutet, so ist 



