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Ul 



112 



113 



Uli 



Ul2 



U13 



1122 



= &xixs 2 (xi 2 — X2 2 ) — 4\2(x 2 2 — xs 2 ) (xs a — 3m 2 ) 



— _ 4X2X3 2 (Xl 2 — X2 2 ) — 4Xl(X3 2 — X! 2 ) (3.X2 2 — \3 2 ) 

 = 2X 3 (X1 2 — X2 2 ) 2 - - 8MX2X3 . (Xl 2 + X2 2 - - 2X3 2 ) 



4x 3 2 (3xi 2 — \2 2 ) + 24x2X1 (X2 2 — xs 2 ) 



— 8xiX2Xs 2 — 4(x3 2 — 3xi 2 ) (3X2 Z — Xs 2 ) 

 8xi\ 3 (xi 2 — x 2 2 ) -- 8x2\3(3xi 2 -f- X2 2 — 2\3 2 ) 



— 4xs 2 (\i 2 — 3x2 2 ) — 24xi\ 3 (\3 2 — xi 2 ) 



U23 . = — 8\2X3(Xl 2 -- X2 2 ) -- 8XlX 8 (Xl 2 -+- 3X2 2 — 2X3 2 ) 



um == 2(xi 2 — X2 2 ) 2 — 8xiX<xi 2 + x 2 2 -- 6x 3 2 ). 



Für den Doppelpunkt A3 wird U11 = 0, U12 = 4x3 4 , Uis = 0, 

 U22 = 0, U23 = 0, 1133 = 0. daher hat sein Tangentenpaar die 

 Gleichung xi . X2 = 0. Der Fundamentalpunkt A3 ist also ein Knoten- 

 punkt der Ce und die Tangenten in demselben sind A2A3 und AiAs ; 

 sie sind die respectiven Inversen der Tangenten AsQs und A3Q3* 

 (Q 3 fällt mit Ai. Qs* mit A2 zusammen), xvelche von As aus an die 

 Ellipse gehen. (Siehe Fig. 1. Tafel Y.) Aus dem Umstände, dass 

 A3Q3, A3Q3* die Cr, in Qs resp. Qs* berühren, folgt, dass die Tangenten 

 im Knoten A3 Inflexionslangenlen sind ( vergl. Fall I) ; diess stimmt 

 mit der Thatsache überein, dass xi = und x ä = die Tangenten 

 der Co in den Punkten Qi und Q2, welche mit As zusammenfallen, 

 vorstellen. Die folgende Rechnung liefert den einfachsten Nachweis 

 hiefür. Substituirt man in (III) xi = 0, so kommt xs 2 . X2 4 == 0, 

 woraus folgt: xs 2 = 0, X2 4 = 0, d. h. xi = schneidet die Ce in 

 A2 zwei Mal, in A3 vier Mal. 



Ferner ist für X2 = : xs 2 . xi 4 = 0, oder xs 2 = und xi 4 = 0, 

 was besagt, dass X2 = mit der Co in Ai zwei, in As vier Punkte 

 gemein hat. 



As ist also ein doppeller InHexionsknoten. 



Die Punkte Ei ( * = 1 ) und E2 ( » = — 1 j sind Doppel- 

 punkte mit reellen und von einander verschiedenen Tangenten, also 

 Knotenpunkte der Co. Die Tangenten in denselben stimmen überein 

 mit den von Ei resp. E 2 aus an die Ellipse gehenden Tangenten. Die 

 bezüglichen Gleichungen lauten : 



Für das Tangentenpaar in Ei : 



xi 2 -f- X2 2 — 4x3 2 -f- 6x1x2 — 4xiX3 -f- 4x2X3 = 

 und für dasjenige in E2 : 



Sl 2 -f- X- 2 — 4X3 2 4" ()XjX2 -j- ' lx i X3 " 4x ' 2X3 = & - 



