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Was die Punkte Es (1, 1, — 1) und E (1, 1, 1) betrifft, so sind 

 dieselben zunächst als Doppelpunkte der Cr, anzusehen, weil für diese 

 Punkte ui, us, m verschwinden. 



Als Gleichung des Tangentenpaares in Es erhält man: 

 (xi + X2 — 2xs) 2 = 

 und diejenige für das Tangentenpaar in E lautet: 



(xi + Xä — 2x 3 ) = 0. 

 d. h. die beiden Tangenten der Ce im Doppelpunkt Es fallen zusammen 

 mit der Ellipsentangente xi -f- X2 -j- 2xs = im Punkte Es und 

 die Tangenten im Doppelpunkt E sind vereinigt in der zu E gehörigen 

 Ellipsentangente xi -f- Xa — 2xs = 0. *) 



Allein diese Punkte sind nicht etwa Spitzen, wie die nachfolgende 

 Betrachtung zeigt. 



Für die Schnittpunkte der Ce mit der Tangente xi -j- \a -j- 2xs = 



ergibt sich, wenn man in der Curvengleichung xs = ■ — s~~~~ s^'/A: 



(xi — x 2 ) 4 . (xi 2 + 3xixa + X2 2 ) = 0. 

 Im Doppelpunkt Es hat also die Tangente mit der Gurve vier 

 vereinigte Punkte gemein und schneidet sie noch in den zwei Punkten 



Der Punkt Es muss daher ein Berührungsknoten sein, d. h. durch 

 Es gehen zwei Aesle der Ce, welche sich in ihm zweipunklig berühren. 

 Die beiden Gurvenzweige sind aber nicht reell, denn setzt man im 

 Bereiche des Punktes Es y = xi ■ |- xa -j- Sxa, z = xi — xa, wo y 

 und z sehr klein sind, in die Gleichung der Ce ein, so wird annähernd 

 16xs 2 y 2 -f- 8xsyz 2 -f- 5z 4 = 0; diese Gleichung repräsentirt zwei 

 imaginäre Curvenzweige, die einander in Es berühren, ihre gemein- 

 schaftliche Tangente y = ist reell. In Uebereinstiminung damit 

 findet man auch, dass die Schnittpunkte der Ce mit der Geraden 

 xi — kxa = mit Ausnahme der zwei sich in Es befindenden ima- 

 ginär sind, so lange k zwischen und -j- 00 liegt. Weil die Curve 

 nicht reell durch Es hindurch geht, so ist Es ein isolirter Punkt der 

 Ce, allein er muss als imaginärer Berührungsknoten angesehen werden. 

 Da im Punkte Es zwei Durchschnitlspunkte der beiden sich in ihm 



/ X3 = \ 



*) Die beiden Tangenten in Es und E gehen durch den Punkt I ■ ^ ). 



