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Bezeichnet F = die Gleichung von p, so haben die ersten 

 Differentialquotienten von F nach Xi, Xa, x 3 die Werthe 



Fi = a 2 xs -f- a»X2 , Fa = aixs + asXi , Fs = ai.xa -\~ aaXi ; 

 dieselben gehen, wenn man die Coordinaten von P;. substituirf, abge- 

 sehen von einem constanten Faktor, über in 



(Fi)x = aiae , (Fb)x = aaas/l 2 , (Fs);. = (a, + a-il) 2 . 

 Demnach lautet die Gleichung der Tangente ü von p im Punkte P;. : 



3. U) • • aiaaxi -f- aaas^xa -j- (ai -j- aaÄ) 2 xs = 



und diejenige des der Geraden ü entsprechenden Kegelschnittes U' : 



4. U') . aiasxaxs -f- aaasPxixs -f- (ai -f aaA) 2 xixa = 0. 



Betrachtet man X als variablen Parameter, so repräsentirt Gleichung 

 (4) sämmtliche dem Fundamentaldreieck umschriebene Kegelschnitte, 

 welche die feste Gerade p' berühren. Durch Elimination von l zwischen 

 (3) und (4) folgt: 



IV.) ai 2 Xi 2 (xa a 

 — 2aia2XiX2(x2 2 



X3 a)a _j_ aa 2 Xa 2 (Xs 2 - Xi 2 ) 2 + as 2 Xs 2 (Xi 2 -- Xa 2 ) 2 



x» 2 ) (xs 2 — xi 2 ) — 2aia8XiXs(xa 2 --X8 2 ) (xi 2 - 



2a2a 3 X2X3(x3 2 — xi 2 ) (xr 



= 0. 



Die erhaltene Gleichung (IV), welche im Allgemeinen eine Curve 

 sechster Ordnung repräsentirt, ist die Gleichung des Ortes der Schnitt- 

 punkte aller Tangenten ü mit ihren entsprechenden Kegelschnitten. 

 Diese Cs hat drei Spitzen in Ai, Aa, As ; die zugehörigen Rückkehr- 

 tangenten sind die resp. Inversen der Tangenten von p in Ai , Aa, As, 

 also bezw. die Geraden AiBi, AaBa, AsBs, wobei Bi, Ba, Bb die Schnitt- 

 punkte der Geraden p' mit den Fundainentallinien AaAs, AiAs, A1A2 

 bezeichnen. Bedeutet o = die Gleichung (IV), so ergibt sich für Ai : 



Ui = 0, Ua = 0, II» = 

 011=0, aia= 0, Uis=0, Uaa = 2aa 2 Xi 4 , Uä8=2aaa8Xi 4 , uss=2a 3 2 xt 4 ;*) 

 das Tangentenpaar im Doppelpunkt Ai wird daher ausgedrückt durch 



die Gleichung : 



aa 2 x2 2 -f- 2aaa8XaX8 -f a8 a X8 2 = oder 



(aaXa -(- a 3 xs) 2 = , 



d. h. die Tangenten im betrachteten Doppelpunkt fallen zusammen, 



Ai ist eine Spitze der Ca und die zugehörige Rückkehrtangente ist 



aaXa -f asXs = 0, also AiBi. Letztere hat mit der Co in Ai drei 



vereinigte Punkte gemein. Analog findet man, dass 



aixi -f- asxs = , aai + aaxa = 



die Tangenten in den resp. Rückkehrpunkten Aa, As vorstellen. (Tafel VI.) 



*) Unter xi ist hier die erste Coordinate von Ai zu verstehen. 



