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Die Punkte E, Ei, Est, E 3 sind Doppelpunkte mit je zwei von 

 einander verschiedenen reellen oder imaginären Tangenten, also 

 Knotenpunkte oder isolirte Punkte, je nachdem sie ausserhalb oder 

 innerhalb des Kegelschnittes p liegen; die Tangenten in denselben 

 werden nämlich angegeben durch die resp. von E, Ei, E», Es aus- 

 gehenden Kegelschnittstangenten. Das Tangentenpaar im Doppelpunkt 

 Es z. B. hat die Gleichung: 



(aia — ais) 2 Xi 2 + (;t 12 — a2 3 ) 3 X2 2 -j- (&■ -f a 28 ) 2 Xs 2 

 |- 2[ai2(a23 — ai2) -f ais(a2 8 -f- an)] • xix 2 

 2[ais(ai8 — an) + a2 8 (ais -f aia)].xix 8 

 + &[a»(an - an) -f ai S (a3s + a 18 )] . xaxs == 0. 

 Enthält der Kegelschnitt p einen der Punkte E, Ei, Ea, Es (mehr 

 als einen kann p nicht enthalten, wenn er nicht in ein Linienpaar 

 zerfallen soll), dann wird derselbe zu einem Berührungsknoten der Cr, 

 und die gemeinschaftliche Tangente der beiden sich in ihm berühren- 

 den Aeste ist die Tangente von p in diesem Punkte. *) Die Co mit 

 drei Spitzen kann höchstens einen Berührungsknoten besitzen. 

 Für die Schnittpunkte der Ce mit Xi = hat man 



;i2 2 x 2 2 x 3 4 -f- a 3 2 x 3 2 X2 4 -f 2a 2 a 3 X2 3 x 3 3 = oder 

 X2 2 xs 2 (a2Xs -\- asX2) 2 = 0, 

 d. h. Xi = schneidet die Ce in den Spitzen A2. As und berührt 

 sie in Qi(xi = 0, a«X2 -f aaXs = 0), dem Schnittpunkte der p- 

 Tangente in Ai mit Xi = 0. 



Xi . X2 aa \ 



U2 = und us = 0, 



Da für Oi 



= 



XS X 3 ;,:, 



während ui von verschieden ist, so ergibt sich, in Peberoinstimmung 

 mit dem Vorigen, als Gleichung der Tangente der Ce im Punkte Oi : 



xi = 0. 

 Analog findet man, dass X2 = und x 3 == die resp. Tan- 

 genten der Ce in den Punkten 



O2I 3 



Qs Xs = , 



Xi 



X 3 



Xi 

 X2 



ai 

 as 



;ti 

 a2 



sind. 



*) Geht z. B. p durch Es, dann ist p' die Tangente von p in Es, also 

 gleichzeitig die Tangente im Berührungsknoten der Ce. 



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