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5. 



| aaxixs -f- a«xiX2 -f- A(aiX2X8 -f- asxix» = oder 

 [ ÄaixaX3 -f- a2Xixa -f- (1 -f- X) . asxiXä = 0. 



In diesem Büschel gibt es stets drei in Linienpaare zerfallende 

 Kegelschnitte, nämlich die Gegenseitenpaare des Vierecks A1A2A3P' : 



AiP', A2Ä 8 ; A>P'. AiAs; AsP', A1A2; 

 dieselben entsprechen den resp. Strahlen 



AiP , A2P . AeP. 



Da einer Geraden eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel entspricht, 

 je nachdem sie, den Kreis K nicht schneidet, berührt oder schneidet. 

 so wird das Kegelschnittbüschel bei jeder beliebigen Lage des' Punktes 

 P Hyperbeln enthalten, darunter eine gleichseitige, die Inverse des 

 Strahles P.M. Dagegen können Ellipsen und zwei Parabeln nur dann 

 vorkommen, wenn P ausserhalb des Kreises K liegt ; die zwei Parabeln 

 entsprechen den von P ausgehenden Kreistangenten. Befindet sich P 

 auf dem Kreise, so existirl nur eine Parabel, sie ist die Inverse der 

 zu P gehörigen Kreistangente ; in diesem Falle liegt der vierte Grund- 

 punkt P' im Unendlichen. Endlich kann das Kegelschnittbüschel einen 

 Kreis und zwar K selbst enthalten, wenn P ein Punkt der unendlich 

 fernen Geraden ist und demzufolge P' auf K liegt. 



Das Strahlenbüschel mit dem Scheitel I» und das Kegelschnitt- 

 büschel mit den Grundpunkten Ai, A2, As, P' sind nun offenbar projek- 

 tivisch und erzeugen demnach eine ebene Gurve. Das Erzeugniss 

 dieser beiden projektivischen Gebilde ist der geometrische Ort der 

 Schnittpunkte entsprechender Elemente; seine Gleichung ergibt sich 

 durch Elimination von 1 zwischen den Gleichungen (4) und (5). 

 . 32X2 -f- asxs 



aixt -J- asxa 



Aus (4) folgt 

 setzt, gibt : 



U12X2 -f-asxa) (31X2X3 -}- 33x1x2) 

 oder 



aixi 2 (a?,x2 -|-32X3) 



diess in (S) einge- 



(31x1 -4- 33x3 )( 32x1x3 -f- 33x1x2 ) = 



6. \ 



oder 



aiX2X3,'32X2 



oder 



3233X1 (X2 2 - 



a2X2 2 (33Xi -f- aixs) -|- a3X:;-(a2Xi — 81x2) = 

 ■ asxs) — 32x1x3(31x14- asxs ) — asxi xi\ aixi — aaxa = 

 xi 2 ) — ai32X3i'xi a — X2 2 ) = 0. 



X3 2 ) -f- 3l3.3X2(X3 2 



Das Erzeugniss ist daher eine Gurve dritter Ordnung. Diese 

 Gs enthält sowohl die Grundpunkte des Kegelschnittbüschels als den 

 Scheitel des Strahlenbüschels, ferner die Punkte 



