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Q2P') . . aiaaxi -f- (a3 2 — ai 2 )x 2 -f- 8283X3 == 

 QsP') . . aia3Xi — 3233X2 -f- (ar — 32 2 )xs = 0. 



Die Gleichungen 

 Q 2 A2(= Q2P) . . . aixi -(- 33x3 = 

 QtAi) X2 = 



Q2P') 3i32Xl -f- (a8 2 — 3i 2 )\2 -j- 3233\3 = 



tq 2 ) 3ia2Xi — (as 2 — ai 2 )xa -f- 3283x3 = 

 zeigen, dass Q2A2, Q2A1, Q2P'. tq a vier harmonische Strahlen sind, und 

 zwar ist die Tangente 1%, der harmonisch conjugirle zu Q2P' in Bezug 

 auf (J2A2 und Q2A1. 



Endlich bilden die durch die Gleichungen 



QsAs) aixi — 82x2 = 



QsAi) Xs = 



QsP') . . 3i3:s\i - a2asX2 -f- (ai 2 — aa 2 )xs = 

 lq 3 ) . . aiasxi — 3233X2 -- (ai 2 — a2 2 )xa = 

 repräsentirten Strahlen QsAs, QsAi, QsP, l Q , ein harmonisches Büschel, 

 in welchem die Tangente ( Q; . der zu QsP' conjugirte Strahl ist, 



Unsere Curve dritter Ordnung kann keine Doppelpunkte besitzen, 

 weil auf jedem durch P gehenden Strahl neben P nur noch zwei Gurven- 

 punkte liegen können; wäre nun ein Doppelpunkl D vorhanden, so 

 hätte, da dem Punkte D im Allgemeinen wieder ein Doppelpunkt ent- 

 sprechen müsste, PD mit der Curve fünf Punkte gemein. (Ai, Aa, As, 

 E, Ei, E2, Es können nicht Doppelpunkte sein, weil in jedem dieser 

 Punkte eine einzige Curventangente existirt. wie nachgewiesen worden 

 ist.) *) Aus dem gleichen Grunde enthält die Cs keine Hückkehr- 

 punkte. Auch die folgende Betrachtung zeigt deutlich, dass die Cs 

 weder Doppelpunkte noch Spitzen hat. Die erste Polare des Punktes 

 P in Bezug auf die Ca ist ein Kegelschnitt, welcher durch E. Ei, E2 

 E3, P geht und die Curve in P berührt und hat somit keine weitern 

 als diese sechs Punkte mit der Cs gemein. Wären nun Doppelpunkte 

 und Spitzen vorhanden, so müssten dieselben auf der ersten Polaren 

 liegen, und die letzlere hätte alsdann mit der Cs mehr als sechs Punkte 

 gemein, was unmöglich ist. (Die erste Polare von P' in Bezug auf 

 die C 3 gebt durch Ai, A2, As. P, P' und berührt die Cs in P', sie ist 

 also gerade derjenige Kegelschnitt, welcher dem Strahl PP' entspricht.) 



*) Läge D in Ai oder Ei , so hätte PD vier Punkte mit der C3 gemein 

 (im Falle D in Ei könnten PD und die C3 auch fünf gemeinsame Punkte haben, 

 dann müsste aber Ei ein Berührungsknoten der Cs sein). 



