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Es sind nun 3 Fälle zu unterscheiden: 
Is 
Ike 1 
If. k = 1 (Lemniskate). 
b 
Diese 3 Fälle sollen der Reihe nach behandelt werden. 
EEK Sr 
In diesem Fall kann man setzen: = k sn? u, wo k der Modulus 
der elliptischen Funktion sei. 
Dann werden die Coordinaten eines Punktes der Kurve: 
) we dn u — snumu 
a Evi 1-+-ksn? u Eiyı + x, 1 -+-ksnu 
Zu jedem Werthe von u gehören 4 zu den Coordinatenaxen 
symmetrisch liegende Punkte. 
Rüry 0; 
1), su 0, u=- 0m x = Vık, Schnittpunkte A und A’. 
2% mumeli=Kk „ze+Vi-k ö Br. 
Die letzteren Schnittpunkte auf der x Axe sind nur reell, wenn 
RK 1 
kur x —0 wird: 
ndu=lQ,u=K-+L,udy=-+ Vksest = imaginär. 
Dabei sind K und L die reelle und die imaginäre Periode der 
elliptischen Funktionen. 
Die Kurve schneidet die y Axe nicht, sie besteht aus 2 getrennten 
Ovalen, symmetrisch zur y Axe, um die Brennpunkte Fı und Fe herum, 
denn für alle Werthe von u zwischen 0 und K erhält man reelle, 
endliche Werthe für x und y. 
Für k = 0 erhält man die Brennpunkte selber. 
Es sollen nun die Doppeltangenten der Kurve untersucht werden. 
Die Parameter der Schnittpunkte der Parallelen y = + qzur x Axe 
bestimmen sich aus der Gleichung: 
en =, sn üsch.U 
ge kV ER a woraus folgt: 
kA+N—- 2? +A+hYR— ag 
2k (1 Er: 2) 
k 
Die Schnittpunkte werden nur reell, wenn qg < < 
u 
