— 11 — 
Das negative Vorzeichen der Wurzel liefert einen reellen Werth 
für u‘, also 4 reelle Wendepunkte, so lange 1 > K > !a oder 
I<k<2ist. Denn wird K" < Ye so wird der obige Ausdruck 
für sn?” wieder > 1, also u’ imaginär. 
Für die Grenze selber k = 2 wird snW = 1, W—=K und 
die Coordinaten der Wendepunkte werden: 
x 0 
d. h, in diesen beiden Punkten, die wir bereits als Undulationspunkte 
der Kurve k—= 2 gefunden haben, fallen je 2 Wendepunkte zusammen. 
Die Cassinischen Kurven mit % reellen Wendepunkten erhält 
inan, wenn K zwischen 1 und 2 liegt; die untere Grenze k =1 ist 
die Lemniskate mit Doppelpunkt, die obere Grenze k — 2 ein Oval 
mit 2 Undulationspunkten. Für k > 2 haben die Curven keine 
Doppeltangenten und keine Inflexionspunkte mehr, es sind Ovale; ein 
Kreis mit unendlich grossem Radius bildet die Grenze. 
Die Coordinaten der Wendepunkte N 
1 
= —- —— (PRIV) u Pr = ——(lt HR VB). 2 
6K> DK 
Durch Elimination von K’ und Y ergiebt sich: 
+0 (13 
d. h. die Wendepunkte sämmtlicher Cassinischen Kurven liegen auf 
einer Lemniskate mit Doppelpunkt in 0, und den Brennpunkten auf 
der y Axe im Abstand y = akt ee Dieselbe geht durch die Un- 
2 
dulationspunkte x — lv > +1 und ist congruent mit der vorher 
gefundenen Lemniskate, auf welcher die Berührungspunkte der innern 
Doppeltangenten liegen, nur ist sie um 90° gedreht. 
Für den Bogen s der Kurve erhält man: 
1— Ks? 
= —- 
ar an VI 
Vom Faktor nz abgesehen, ist das Integral dasselbe wie das 
im Fall I behandelte; es wird daher: 
1 
sa — ayr 28 
dt’ 5 
ker: Se) Ian ae 
