BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ PHILOMATHIQUE DE PARIS 



COMMUNICATIONS 



IVIesare des aires planes, des Volumes 

 et des hypepvolames 



PAR L. LEAU. 



On sait qu'une théorie complète et rigoureuse de la mesure des aires 

 planes, des volume? et des hypervolumes ne va pas sans de grands 

 développements, assez fastidieux. L'exposé ci-dessous a pourobjet prin- 

 cipal d'éviter cet inconvénient. Le principe même de la détermination 

 de la mesure est celui de Jordan ; pour simplilier le langage on donne 

 dans le cas de deux variables (domaines plans) des raisonnements vala- 

 bles quelque soit le nombre de ces derniers. 



Enoncé dîi problème . — Nous considérons des ensembles bornés de 

 couples de nombres (x, y) qui représentent des points rapportés à deux 

 axes rectangulaires. On pourra supposer généralement que les ensem- 

 bles des points forment des portions de plans limitées par un ou plu- 

 sieurs contours et que nous appellerons des surfaces. Nous dirons 

 qu'un système S de telles surfaces, système comprenant : 1° tous les 

 rectangles ; 2° toutes les surfaces égales à une quelconque de S ; 3" toute 

 surface décomposable en plusieurs de S, est mesurable si l'on peut atta- 

 cher à chacune d'elles un nornbre positif ou nul, sa mesure, tel que : 



1° Deux surfaces superposables aient même mesure ; 



2° Une surface somme de plusieurs autres a pour mesure la somm.e 

 de leurs mesures ; 



3° La mesure d'un carré de côté 1 est 1. 



Méthode. — Nojus allons, pour un certain ensemble de surfaces, déter- 

 miner des nombres qui, si le problème est possible, seront nécessaire- 

 ment leurs mesures. Nous vérifierons ensuite que les conditions posées 

 sont vérifiées. 



r. Un raisonnement élémentaire montre que l'aire d'un rectangle de 

 côtés 1 et m devra être Im. 



