8 . BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ PHILOMATHIQUE DE PARIS 



II. Imaginons des carrelages parallèles aux axes. Je remarque qu'é- 

 tant tracés deux assemblages de carrés, appartenant ou non au même 

 carrelage, si l'un d'eux est intérieur à l'autre, la mesure qui lui est 

 afifectée est plus petite. Cela résulte de ce que l'aire d'un rectangle est 

 égale à la somme des aires des rectangles dont il se compose 



[Si ai ~ Xo < Xi .\ . < Xp = aj, b^ = jo < yi < . . < yq =: b^ 



(aa — a,) (bg — b^) = ^ (Xi+, - x^) (yj+i — yj)] 



Soit alors une surface et tous les carrelages (parallèles aux axes). 

 Nous distinguons les carrés dont tous les points appartiennent a la sur- 

 face et ceux qui ne lui appartiennent pas entièrement; les premiers 

 sont dits intérieurs, les seconds mixtes. Tout assemblage des carrés 

 intérieurs est, comme tel, affecté actuellement d'une mesure inférieure 

 à celle de tout assemblage des carrés intérieurs et mixtes. Quand il y 

 aura de ce fait une coupure nous introduirons la surface dans l'ensem- 

 ble S et lui attribuerons pour mesure le nombre ainsi défini. 



Notre condition revient à dire que la frontière de la surface est, 

 pour un réseau assez fin de carrés (comme il est aisé de le voir) cou- 

 verte de carrés d'aire totale inférieure à un nombre positif arbitraire. 

 Cette dernière propriété est certainement possédée par un arc fini 

 représenté par une équation y = f (x) telle que f ' (x) est borné, car 

 I ya — yd ! < I x^ — xi I M ; soit p-2 le premier entier supérieur à M 

 il n'y aura jamais plus de p carrés, dans une bande parallèle à oy, 

 traversés par l'arc. J'en conclus les deux cas suivants : 1" un segment 

 de droite; 2^ une circonférence ; car elle se compose d'un nombre 

 limité d'arcs jouissant chacun de la propriété énoncée. 



Dans l'espace an dimensions, on considère une hypersurface dont 

 l'équation est mise sous la forme Xn = f (xi, x^,.. x^^ ) Xi, X2,.. Xn-i res- 



af, 3f 



tant bornés ainsi que les dérivées -^r-,.., — — . Les cas particuliers 



^Xi 9Xn-i 



sont : 1° la portion finie de l'hyperplan comprise entre couples de 

 plans parallèles ; 2» l'hypersphère x^^ -f xa* -f . .-{- Xn= = R*. En tout 

 point (les x n'étant pas nuls à la fois) la règle s'applique, c'est-à-dire 

 que tout point est intérieur à une aire possédant la propriété en ques- 

 tion. Il résulte du théorème de Borel-Lebesgue qu'un nombre limité de 

 telles aires couvre la surface. 



Ainsi les rectangles, avec une orientation quelconque, font partie de 

 S, ainsi que les cercles. 



III. L'ensemble de deux surfaces soit extérieures, soit contigues, 



