BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ PHILOMATHIQUE DE PARIS 9 



faisant partie de S, appartient lui-même à S et le nombre qui lui est 

 affecté est la somme de leurs mesures. 

 La démonsttalioa est immédiate. 



IV. Si une surface A fait partie de S elle conserve sa mesure après 

 un déplacement quelconque. 



Le fait est évident poui' une translation, car dans Ce mouvement la 

 surface emporte avec elle les quadrillages dont l'ensemble reste 

 inchangé. 



Il suflit donc d'étudier les rotations. La propriété est exacte pour le 

 cercle qui reste lui-même par rotation autour de son centre. 



Supposons que pour une certaine orientation (après rotation d'an- 

 gle 6) l'aire d'un carré soit multipliée par K^ Il en sera de même pour 

 tout autre carré (primitivement orienté suivant les axes), on le cons- 

 tate sans difficulté. Soit donc une surface A qui avait une mesure a et 

 qui prend la position A' après rotation d'angle 6 ; elle a entraîné le 

 système d'axes o x y qui a pris la position o' x' y'. Soient deux assem- 

 blages de carrés qui donnaient des valeurs a, «2 approchées par défaut 

 et par excès ai < a < ^ avec «^ - «]<;£; les mesures de ces assem- 

 blages sont maintenant k^ «i = a', k'^ a^ := a'2. Or avec x y je puis 

 prendre un carrelage tel que si les assemblables intérieur et débordant 

 respectivement par rapport aux deux précédents ont pour mesures 

 pi et j32, on ait a'i — (ii < s p2 — «'a < £ d'où (3-2 — Pi < 3 s ; donc A' a 

 une mesure a' et comme ^j <k-ai<;k'^a<k* «2 < (ijet ^i < a' <P2 on 

 a a' = k^ a. 



Ainsi toutes les aires (après rotation d'angle 6) seraient multipliées 

 par k^; mais la mesure d'un cercle est restée invariable. Donc k^ = l; 

 la propriété est établie et le système de surfaces S satisfait aux condi- 

 tions posées: il est mesurable. 



V. Remarque finale. — Si un ensemble Ë borné de points peut être 

 couvert par un nombre limité de carrés d'un carrelage orienté sui- 

 vant les axes et dont la somme des aires soit inférieure à un nombre 

 arbitrairement donné, il en est de même avec toute autre orientation 

 du quadrillage puisque ce changement d'orientation revient à un dépla- 

 cement de E. Un tel ensemble est dit inétendu. 



Le système S de domaines qui vient d'être défini comme mesurable 

 dans l'espace à n dimensions est donc formé des domaines dont les 

 frontières constituent un ensemble inétendu dans cet espace. 



Il est indifférent (|u'un de ces doijiaines possède ou non sa fron- 

 tière. 



