MÉMOIRE SUR LE PROBLÈME DES N CORPS. 5 



et eu observant que d'après (2) a!,,2-j-Ä23-(-a3i = 0, ou obtiendra, par addi- 

 tion et à l'aide de (16), l'intégrale suivante: 



(18) 7îii?«aVai,o — —-\-inom-^Ya,,^ — -li -^ jk^ ??ij Va^i ^-^ = Ä , 

 ' dt ' ut lit 



où Ä désigne un vecteur constant. De cette intégrale des aires on tire 

 immédiatement les trois intégrales suivantes, exprimées au moyen des 

 coordonnées des vecteurs : 



(19). 



7)li?«2 y/i2 



dZr 



_./4l^j+,«2-3!yÄ-^'.%!+-3->Sy3.^^-^^.%l=fn 



_ .^,^^^...,„.,^^,, ^^^ .,, ^^^^-r.,.,„.,^^,, ^^^ .. ^^^ 



{ dxi2 dz,n) , i fZa.'o3 dz.2-1,) , ( c?'Ï3i dz-n) t 



où fi, îo, ti désignent des scalaires constants. Ce système (19) peut être 

 déduit des trois intégrales connues des aires, exprimées en coordonnées 

 des vecteurs /3i, /Sj, ß^. • 



Remarque. En posant 



r^da^_dSj2 rp dct,3 _ ds^3 rj^ deCsi ^ds-i, 



dt ~ dt ' dt ~ dt ' dt dt ' 



ces quantités étant par conséquent les vitesses tangentielles des trois 

 corps il/i, i)/2, M^; et en désignant par B^^i -B23, -B31 les angles des di- 

 rections tangentielles -î-r^ , — ^ , —f^ avec les vecteurs resp. ^12, *23 5 *3i 

 dt dt dt 



et par ii2, ^s, fai les vecteurs unitaires, perpendiculaires respectivement aux 

 plans de ces angles ; et, de plus, par I un vecteur unitaire, perpendicu- 

 laire à un plan invariable, l'intégrale (18) prendra cette forme remar- 

 quable: 



(20) îUi?n2«i2TAi,— — SiniJi.2 + ?H2»¥'23TÄ23-'-?? Sin i?23-f 

 dt dt 



