Mémoire sue le problème des n corps. 11 



Dans ces développements, les n premiers termes de dessus de la 

 première colonne verticale forment, d'après la supposition, la somme 

 (^i-j-/^2H [^,)^{L,sK^i et, à l'aide de la condition (27), les ?i premiers 



termes de dessus de la seconde colonne verticale forment la somme 

 /*„+i^''(Xr,.A,.,); enfin, les termes restants forment la somme (yM.i-)-yM.2 + ---^«+i) 



X-5'(i^(„ + i)sAf„4 1,,). Donc, la somme totale est (^j-j-^g-] lt*;,+i)2{L,,Ä,,) 



n + l 



et ainsi la vérité de la formule (28) se trouve démontrée pour l'indice 

 (w-fl), si elle existe pour l'indice n. Mais, la formule (28) étant vraie 

 pour 71 = 3, elle est vraie pour n = 4, etc.; donc, en général, elle est 

 vraie pour n égal à un nombre entier positif qiielconque. Ainsi, le théo- 

 rème proposé est démontré. 



Corollaire. D'une manière tout à fait analogue on aura la formule 

 générale 



(29) 2l,„2L^,-\-2k.iU-\-...2l,„:-L„,= (f^,+f^,-^...,^,):^(Ä,,L,,). 

 9. Une équation du système (13) est de la forme: 



(30) »/f-'=-^^„, 



à laquelle il faut joindre l'équation (12) ou 



— a-ß, = 2 ci,.,m, . 



En multipliant ces deux formules et en sommant les résultats pour 

 r=l, 2,...n, on aura, d'après les formules (29) et (28), si l'on y fait 



Z„ = x4,.j, A,.5 = «.,., et [A,^ = m,: 



1—1 at n 



Mais, d'après (4), on a ciL,,A„ = A,,A„ = m,m^=^ . Donc, à l'aide 

 de (16), on trouve l'intégrale des aires suivante: 



