Mémoire sue le problème des n corps. 17 



l'intégrale des forces vives (46). Ainsi les systèmes (44) et (45) équi- 

 valent à deux intégrales nouvelles dont la détermination complète dé- 

 pend d'une quadrature / ^^■' , où q est un quaternion de la forme q^^ 



dans la formule (39). Les autres intégrales (36), (48), (49) et (50) ne 

 sont que des résultats de ti-ansformation des intégrales (33), (44), (45) 

 et (46). 



Remarque. Des Bn équations scalaires du système (13) on pourra, 

 à l'aide de (28), dune manière purement algébrique déduire les inté- 

 grales scalaires (33), (44), (45) et (46). 



14. Des 3n coordonnées des vecteurs /Sj, ß^^.-.ß,, il n'y en a, à 

 cause de l'égalité (11), que 2>(ii — 1) à détermi-ner eu fonction du temps 

 au moyen des 2>n équations scalaires du système (13), en y faisant usage 

 de la relation /3,.-(-ä„ = /Ö, pour déterminer les vecteurs ol,.,. D'un autre 

 côté, si l'on considère les vecteurs à indices successifs ^12 , «tgs ,...,<*(„ _i,„ , 

 a„i comme les n côtés du polygone des n corps, et si l'on observe que 



llx T) 1 ) 'il( "il il 



les diagonales de ce polygone, au nombre de — ^ ^ — n = — i i, peu- 



vent être déterminées par des relations de la forme a,, = «,(,.+i) -|- *(r+i) +2)+ 

 ...-|- <*(,_!),, on voit que dans ce cas aussi, à cause de l'égalité ai2-\-a>2i-\- 

 ...-fa(„_i)„ + Ä„i = ü, il n'y aura que 3(ïi— 1) coordonnées des vecteurs 

 a,,, à déterminer en fonctions du temps par l'intégration des équations 

 du mouvement (13). 



Remarque 1. Au sujet de la quadrature l ^-^IL on peut faire les 



J ^ q 



observations suivantes. 



En désignant par r le verseur du quaternion q, et en posant 



i étant ainsi un vecteur unitaire d'une direction variable ", on peut met- 

 tre q sous la forme: 



q=Tq.v. 



* Voir Versuch einer neuen Entwicklung etc., N° 25. 

 Nova Acta Eeg. Soo. So. Ups. Ser. III. 



