SuK LES Fonctions Imagixaikes. 3 



2:o. f{(i + h , h + /,■) tend indêfinuiient. vers une seule valeur limite, 

 réelle et finie, indéjiendaide des signes de h et de k, en meine temps que ces 

 quantités toutes les deux et indépendantes l'une de l'autre décroissent indéfi- 

 niment, et cela en sorte que f{a, h) n'aura aucune autre valeur que cette 

 même valeur limite. 



De même, si ces conditions sont rcnq)lies pour chaque point dans 

 l'intérieur d'un contour fermé situé dans le plan des coordonnées, la fonction 

 est dite continue dans l'intérieur de ce contour. 



Souvent une fonction f(x, y) est continue dans l'intérieur d'uu con- 

 tour donné à l'exception de certains points intérieurs au contour. 



§ 2. 

 Définition et continuité des fonctions d'une variable imaginaire. 



3. Chaque fonction l'\:) d'une varialjle imaginaire z que nous re- 

 garderons dans ce mémoire est supposée douée des propriétés suivantes: 



l:o. La fonction doit, par une substitution 



2 = x-\-yi 

 ou 



z = pé'' = p{Gos & + l Sin *) , 



prendre la forme 



(1) F(z) = <f(::v, y) + i'I^v, y) 

 ou 



(2) F{^=X{P, 'V) + '^(aa *), 



les fonctions ^^ i/',- /? ~? ainsi que les variables x, y, p, /J, étant supposées 

 réelles. 



2:o. Les fonctions j?, yj, /, - doivent être bien déterminées, de ma- 

 nière que chacune d'elles n'aura en général, dans chaque point de la partie 

 du plan en question, qu'une seide valeur possible. Cependant nous admettons 

 qu'e//es pourront devenir infinies dans des points distincts et isolés les uns des 

 autres, mais non pas dans une suite continue de points, soit qu'ils forment 

 une partie d'iuie courbe ou une partie du plan. 



■i. La fonction F{s) est dite continue dans chaque point ou dans 

 l'intérieur de chacjue contour où les fonctions <p et ^j (ou y_ et li) sont con- 

 tinues toutes les deux. 



