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lÎL'iiiarii 111'. 11 taut ob.scrwr ici la iirccssitc de la [ax'iiiicrc (^•oiidi- 

 tinii dv conti 11 uitt', c'est-à-dire (|ue les fonctions ç et '/' [uvi y et -) doivent 

 T'ti'c réelles toutes les deux dans l'intérieur d'un contour, si petit qu'on 

 veuille, décrit antour du ])oint en ([uestion, ou dans chaqne point intérieur 

 au contour donn<''. l'^n effet, si cette condition n'est pas remplie en un 

 point donné, tontefois la seconde condition de continnité pourra l'i'tre. 

 Mais, dans ce cas, il n'est pas à priori inij)ossil)le ([lie, partant du point 

 en question dans diverses directions, l'une ou l'antre des fonctions f et '/•' 

 (ou y et -) devienne réelle seulement du)is qndqnes-nnes de ces directions, 

 mais inianinaii-e dans d'autres, ce (pii revient au même qu'alors les fonctions 

 (f et '/' («III y et -) ne seraient pas les mêmes dans toutes les directions 

 issues du point, mais, au contraire, ([u'il y aurait discontinuité dans le dit 

 point à l'égard de la déunition analytique de F{.?) au moyen d'une éipiation 

 de la forme (1) ou (2). 



Dérivée d'une fonction imaginaire. 



5. \<)us empruntons à la théorie des fonctions réelles le théorème 

 suiA^ant bien eomui: 



0{.r, y) étant réelle et continue dans chaque point de la droite qui Joint 

 le point [.r, ij) au pond (./-j-/;, ij-\-k), et les dérivées partielles du preniler 

 ordre remplissant cette même condition dans tous les points de la même droite, 

 à l'exception peut-être des points extrêmes {:r, ij) et [x -{- li, jj -\- k) , on a toujours 



(3) 0{x + h, 1/ -f /,•) — 0{x, y) = h(I>\,{.r. + Oh, y + f)k) + !< 0\,{->- + &h, y + ßk), 



& élaid une quantité réelle comprise entre et \. 



<Juant à la- forme ([ue nous avons donnée ici aux conditions de ce 

 théorème, il suffit d'observer qu'on obtient la formule (3) de l'équation 



m-m=-tf'{fM) 



en posant f\t)=--(l>(^v-\-lit, y -\- lit) et en faisant ensuite t=\. En effet, 

 faisant t varier de à 1, le point {.r-{-M, y -\- Id) décrit la ligne droite 

 passant du point (.r, y) au point (.r + //, // + /■) . 



