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6. Avant de traiter de la dérivée d'une fonetion imaginaire, nous 

 devons faire une remarque d'une importanee fondamentale, laquelle est 

 comprise dans la proposition suivante: 



Dans chaque point (.r, y) où la fonction F[z) est continue et définie par 

 l'équation (1) et où, en outre, les dérivées <f'-,, (f\, ip\., *p',j sont continues, on 

 aura nécessairement les identités 



(i) 



j <f'Â^, y) = '/'',(•'■, y) , 

 I ?'M^ y)^ — •/''.(*> y) ■ 



En eft'et, l'expression 



(fi:':, y) + «•/'(-*■, y) 



étant le résultat de la substitution de .<+/// à la plaee de z dans F{z), 

 on devra de cette même expression retrouver F{z), c'est-à-dire une fonction 

 indépendante de //, si l'on y remplace x par sa valeur tirée de l'équation 



X ^ 3 — yi . 

 Donc posant 



T=<f {■)-■, y) + i<p{-r; y) 



et dénotant par T ce que devient T par la dite substitution, on devra 

 avoir i dent iq uemen t 



<^y 



Mais de la définition de T il suit 

 d'où l'on obtient, à cause de ^r- ^ — i l'identité 



^y 



~)T' 



-^ = f ;(■*■. y) + '/''.O^. y) + '['^'.(•»^ y) — ^^\(:V> y)] ■ 



Comme dans cette formule le second membre doit être identiquement nul, 

 on obtient les identités (4). La proposition est donc démontrée. 



Mais il faut bien remarquer que ce tliéorèmc peut être en défaut 

 si, contrairement à notre hypothèse, une ou plusieurs des fonctions ^, '/' 



