(j M. Falk, 



ft leurs <léri\('e'> [lartU'lli^ du prciiiiLT nrilrc cessent d'i'tre coulinucs dans 

 le point Çr, ij). 



7. Definition de la dérivée. Conforiuénient à, la théorie des fonctions 

 réelles, la dérivée F'[z) de F(/) sera définie par la formule 



(5) . „..(.). „„5i±M^S. 



Posons 



~" = .'• + ,'/' , A^ = /* + I>i ; 



alors nous obtiendrons en vertu de l'écjuation (1) 



Fiz+/^^-F{/) _ ^<.. + h, u + A-) - ^jr, !,) + i[f{j- + h, ,, + /,) - V'(.r, y)] 

 l\3 h-j-ki 



Maintenant supposant ^, '/' et leurs dérivées partielles du premier ordre 



donees des propriétés nécessaires et suffisantes pour que l'équation (3) soit 



vraie pour <P = ^ et fP = f, l'équation que nous venons d'obtenir pourra 

 s'écrire 



F{z+ l\z) — F{a)_ 



Ai ~ 



~ h + ki 



(0<*!/<l, 0<A<1). 



En ajoutant et en retranchant dans le numérateur du second menil>re la somme 



//./''.(.i^ + )Ji, Il + /A-) + ik<f\{,c + bh, y + <%) , 

 ou obtient aisément 



(6) F{2+ i^i)-F {£l _ ^,^^ ^ ^^^^ ^ ^^ ^ ^^^^^^ ^ .^^ , ^ ^^^ ^ ^^^^ ^ ^^^ ^ ^j^^ ^ ^ ^ 



où 



(7) U= ,.. L%(.f + ^y/j, y + iU-)+ip'X-v + /Ji., y + //r) + i[i/;'j,(.t; + //!.,î/ + //i)—f'X« + '!''', y + '^/'")] • 



La condition nécessaire et suffisante pour annulier A*" étant de faire tendre 

 vers zéro, suivant une loi quelconque, h et k tous les deux, on obtient de 

 ces équations et en vertu de (5) 



