Sur les Fonctions Imaginaires. 7 



(8) F' is) = F'.(.'r, y) + n>\{x; y) , 



pourvu qu'on suppose que la continuité des dérivées de <p et de '/', t'insi que 

 l'équation (1), subsiste aussi au point même {oo, y). En effet, ces conditions 

 étant remplies, les identités (4) ont aussi lieu. Donc on aura nécessairement 



lim t/=0, 

 car, en p(isant 



It + Ixi = }-(cos o) + ? sin co) , 

 on obtient 



li sin CO . , . . , 



h + hi cos CO + / sin w 



équation qui démontre que 



inn 



sm w (^cos CO — • ^ sm o)) , 



h + /,■/ 

 ne pourra jamais devenir infinie. 



De l'analyse que nous venons de faire nous tirons la proposition 

 suivante : 



F{2) étant une fonction imaginaire de la variable s = x + yi définie par 

 Vérjuation (1) et telle que les fonctions cp et \p ainsi cjiie leurs dérivées par- 

 tielles du premier ordre sont continues cm point {x, y), sa dérivée F'{ß) sera in- 

 dépendante de la valeur limite de oj (l'aryinnent de t^z), c'est-à-dire indépen- 

 dante de la loi suivant laquelle on fait tendre vers zéro les cquantités h et Je 

 simultanément. 



D'après ce que nous avons dit dans les numéros précédents il faut 

 remarquer que cette proposition peut être en défaut si, contrairement aux 

 hypothèses admises, les conditions de continuité ne sont pas toutes remplies. 



Remarque. D'un autre côté nous verrons maintenant que, qtiand les 

 conditions relativement à la continuité des fonctions cp , yj et de leurs dérivées 

 ainsi qu'à la définition de F{0) au moyen de l'équcdion (1) sont totdes remplies, 

 la dérivée F'{s) s'obtiendra par les règles ordinaires de différenticdion des fonc- 

 tions réelles, si on les applique à la fonction F{z) en la regardant comme 

 fonction des deux variables x et y et en traitant i comme une constante réelle. 



En effet, différentions, dans ces hypothèses, l'équation (1) d'abord par 

 rapport à x, ensuite par rapport k y; il viendra 



